Номер 414, страница 78 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Два цилиндрических сообщающихся сосуда с ртутью.

Площадь сечения узкого сосуда: $S_1$

Площадь сечения широкого сосуда: $S_2$

Соотношение площадей: $S_2 = 2S_1$

Плотность воды: $\rho_в$

Плотность ртути: $\rho_р$

Высота, на которую долили воду в широкий сосуд: $l$

Найти:

Высоту подъема ртути в узком сосуде: $h$

Решение:

Когда в широкий сосуд доливают воду, она своим весом вытесняет ртуть. Уровень ртути в широком сосуде опускается на некоторую высоту $x$, а в узком — поднимается на искомую высоту $h$.

Поскольку ртуть является практически несжимаемой жидкостью, объем ртути, который ушел из широкого сосуда, равен объему ртути, который прибыл в узкий сосуд. Это условие можно записать в виде уравнения:

$V_{\text{ушедшей}} = V_{\text{прибывшей}}$

$S_2 \cdot x = S_1 \cdot h$

Используя условие задачи, что $S_2 = 2S_1$, получаем:

$2S_1 \cdot x = S_1 \cdot h$

Отсюда находим соотношение между высотами $x$ и $h$:

$x = \frac{h}{2}$

После установления равновесия давление на любом горизонтальном уровне в жидкости должно быть одинаковым в обоих сосудах. Выберем в качестве уровня для сравнения давлений границу раздела между водой и ртутью в широком сосуде.

Давление, создаваемое столбом жидкости в широком сосуде на этом уровне (сверху давит столб воды высотой $l$):

$p_2 = p_{\text{атм}} + \rho_в g l$

В узком сосуде на этом же горизонтальном уровне давление создается столбом ртути. Высота этого столба ртути $\Delta H$ равна разности уровней ртути в узком и широком сосудах. Изначально уровни были одинаковы. После доливания воды уровень в узком сосуде поднялся на $h$ относительно начального, а в широком — опустился на $x$. Таким образом, общая разность уровней равна:

$\Delta H = h + x$

Давление в узком сосуде на выбранном уровне:

$p_1 = p_{\text{атм}} + \rho_р g \Delta H = p_{\text{атм}} + \rho_р g (h + x)$

В состоянии равновесия давления $p_1$ и $p_2$ равны:

$p_{\text{атм}} + \rho_в g l = p_{\text{атм}} + \rho_р g (h + x)$

Сократим атмосферное давление $p_{\text{атм}}$ и ускорение свободного падения $g$:

$\rho_в l = \rho_р (h + x)$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $x = \frac{h}{2}$:

$\rho_в l = \rho_р (h + \frac{h}{2})$

$\rho_в l = \rho_р (\frac{3}{2}h)$

Теперь выразим искомую высоту $h$:

$h = \frac{2\rho_в l}{3\rho_р}$

Ответ: Уровень ртути в другом сосуде поднимется на высоту $h = \frac{2\rho_в l}{3\rho_р}$.