Номер 408, страница 77 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h_в = 26$ см

$\rho_в = 1000 \frac{кг}{м^3}$ (плотность воды)

$\rho_к = 800 \frac{кг}{м^3}$ (плотность керосина)

$\rho_{рт} = 13600 \frac{кг}{м^3}$ (плотность ртути)

$h_в = 26 \text{ см} = 0.26 \text{ м}$

Найти:

$\Delta h_{рт}$ - ?

Решение:

Задача решается с помощью закона сообщающихся сосудов, согласно которому давления на любом горизонтальном уровне внутри покоящейся однородной жидкости одинаковы. Выберем в качестве уровня сравнения границу раздела между ртутью и водой в том сосуде, куда налита вода. Давление на этом уровне в обоих сосудах будет одинаковым.

Пусть $p_1$ — давление на этом уровне в сосуде с водой, а $p_2$ — давление на этом же уровне в сосуде с керосином.

$p_1 = p_2$

Давление в первом сосуде (с водой) создается столбом воды высотой $h_в$ и атмосферным давлением $p_{атм}$:

$p_1 = p_{атм} + \rho_в g h_в$

Так как плотность воды больше плотности керосина, уровень ртути в сосуде с водой будет ниже. Обозначим разность уровней ртути в сосудах как $\Delta h_{рт}$. Давление во втором сосуде (с керосином) на выбранном уровне создается столбом керосина высотой $h_к$, столбом ртути высотой $\Delta h_{рт}$ и атмосферным давлением $p_{атм}$:

$p_2 = p_{атм} + \rho_к g h_к + \rho_{рт} g \Delta h_{рт}$

Приравнивая выражения для давлений и сокращая атмосферное давление и ускорение свободного падения $g$, получаем:

$\rho_в h_в = \rho_к h_к + \rho_{рт} \Delta h_{рт}$

По условию задачи, верхние уровни воды и керосина совпадают. Выразим это равенство через высоты столбов жидкостей. Если за нулевой уровень принять границу раздела "вода-ртуть", то высота верхнего уровня воды равна $h_в$. Высота верхнего уровня керосина будет складываться из высоты столба керосина $h_к$ и разности уровней ртути $\Delta h_{рт}$:

$h_в = h_к + \Delta h_{рт}$

Отсюда можно выразить высоту столба керосина:

$h_к = h_в - \Delta h_{рт}$

Подставим это выражение в уравнение для давлений:

$\rho_в h_в = \rho_к (h_в - \Delta h_{рт}) + \rho_{рт} \Delta h_{рт}$

Раскроем скобки и выразим искомую величину $\Delta h_{рт}$:

$\rho_в h_в = \rho_к h_в - \rho_к \Delta h_{рт} + \rho_{рт} \Delta h_{рт}$

$\rho_в h_в - \rho_к h_в = \Delta h_{рт} (\rho_{рт} - \rho_к)$

$h_в (\rho_в - \rho_к) = \Delta h_{рт} (\rho_{рт} - \rho_к)$

$\Delta h_{рт} = \frac{h_в (\rho_в - \rho_к)}{\rho_{рт} - \rho_к}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta h_{рт} = \frac{0.26 \text{ м} \cdot (1000 \frac{кг}{м^3} - 800 \frac{кг}{м^3})}{13600 \frac{кг}{м^3} - 800 \frac{кг}{м^3}} = \frac{0.26 \cdot 200}{12800} = \frac{52}{12800} \approx 0.0040625 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$0.0040625 \text{ м} = 0.40625 \text{ см} \approx 0.41 \text{ см}$

Ответ: разность уровней ртути в сосудах составляет приблизительно $0.41$ см.