Номер 742, страница 134 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S = 0,10 \text{ м}²$

$h₁ = 80 \text{ см}$

$t₁ = 0,0 \text{ °C}$

$p₁ = 0,25 \text{ МПа}$

$t₂ = 25 \text{ °C}$

Перевод в систему СИ:

$h₁ = 80 \text{ см} = 0,80 \text{ м}$

$T₁ = 0,0 + 273 = 273 \text{ К}$

$p₁ = 0,25 \text{ МПа} = 0,25 \cdot 10⁶ \text{ Па} = 2,5 \cdot 10⁵ \text{ Па}$

$T₂ = 25 + 273 = 298 \text{ К}$

Найти:

$\Delta h$ - ?

$A$ - ?

Решение:

1. Определение изменения высоты Δh, на которую поднимется поршень

При нагревании воздуха поршень поднимается. Поскольку поршень может свободно перемещаться, процесс расширения воздуха в цилиндре является изобарным, то есть происходит при постоянном давлении $p = p₁ = const$.

Для изобарного процесса применим закон Гей-Люссака, который связывает объем и температуру газа:

$\frac{V₁}{T₁} = \frac{V₂}{T₂}$

где $V₁$ и $T₁$ — начальные объем и абсолютная температура воздуха, а $V₂$ и $T₂$ — конечные.

Объем воздуха в цилиндре выражается через площадь основания $S$ и высоту $h$: $V = S \cdot h$. Начальный объем $V₁ = S \cdot h₁$, конечный объем $V₂ = S \cdot h₂$, где $h₂$ — конечная высота.

Подставим эти выражения в закон Гей-Люссака:

$\frac{S \cdot h₁}{T₁} = \frac{S \cdot h₂}{T₂}$

Сократив площадь $S$, получим соотношение для высот:

$\frac{h₁}{T₁} = \frac{h₂}{T₂}$

Отсюда можем выразить конечную высоту $h₂$:

$h₂ = h₁ \cdot \frac{T₂}{T₁}$

Изменение высоты $\Delta h$ равно разности конечной и начальной высот:

$\Delta h = h₂ - h₁ = h₁ \cdot \frac{T₂}{T₁} - h₁ = h₁ \left(\frac{T₂}{T₁} - 1\right)$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\Delta h = 0,80 \text{ м} \cdot \left(\frac{298 \text{ К}}{273 \text{ К}} - 1\right) \approx 0,80 \text{ м} \cdot (1,0916 - 1) = 0,80 \text{ м} \cdot 0,0916 \approx 0,073 \text{ м}$

Таким образом, изменение высоты составляет $7,3$ см.

Ответ: изменение высоты, на которую поднимется поршень, составляет approximately $7,3$ см.

2. Определение работы A, совершаемой силой давления воздуха

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе (при постоянном давлении), вычисляется по формуле:

$A = p \cdot \Delta V$

где $p$ — постоянное давление, а $\Delta V$ — изменение объема газа.

Изменение объема $\Delta V = V₂ - V₁ = S \cdot h₂ - S \cdot h₁ = S \cdot (h₂ - h₁) = S \cdot \Delta h$.

Подставим выражение для изменения объема в формулу для работы:

$A = p \cdot S \cdot \Delta h$

Теперь подставим числовые значения. Для большей точности используем не округленное значение $\Delta h$ из предыдущего пункта: $\Delta h = 0,80 \cdot (\frac{298}{273} - 1) \text{ м}$.

$A = (2,5 \cdot 10⁵ \text{ Па}) \cdot (0,10 \text{ м}²) \cdot \left(0,80 \text{ м} \cdot \left(\frac{298 \text{ К}}{273 \text{ К}} - 1\right)\right)$

$A = (2,5 \cdot 10⁵) \cdot 0,10 \cdot 0,07326 \text{ Дж} \approx 1831,5 \text{ Дж}$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных ($S$, $h₁$, $p₁$, $t₂$):

$A \approx 1,8 \cdot 10³ \text{ Дж} = 1,8 \text{ кДж}$

Ответ: сила давления воздуха совершает работу $1,8$ кДж.