Номер 749, страница 135 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Количество вещества идеального газа: $ν = 1,0$ моль
Работа, совершенная газом: $A$
Соотношение температур: $T_3 = T_1$
Соотношение давлений: $\frac{p_2}{p_3} = k$

Все величины, кроме количества вещества, заданы в общем виде. Количество вещества дано в единицах СИ.

Найти:

$T_1$ - ?

Решение:

Процесс, показанный на p-V диаграмме, состоит из двух этапов: 1-2 является изобарным расширением (давление постоянно), а 2-3 — изохорным охлаждением (объем постоянен).

Полная работа $A$, совершенная газом при переходе из состояния 1 в состояние 3, равна сумме работ на участках 1-2 и 2-3:

$A = A_{12} + A_{23}$

На участке 2-3 объем газа не изменяется ($V_2 = V_3 = const$), следовательно, работа газа на этом участке равна нулю:

$A_{23} = 0$

На участке 1-2 давление газа постоянно ($p_1 = p_2 = const$), поэтому работа газа вычисляется по формуле:

$A_{12} = p_1(V_2 - V_1)$

Таким образом, полная работа газа за весь процесс равна работе на участке 1-2:

$A = p_1(V_2 - V_1)$

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для состояний 1 и 3:

$p_1V_1 = \nu R T_1$

$p_3V_3 = \nu R T_3$

По условию задачи, температура в конечном состоянии 3 равна температуре в начальном состоянии 1 ($T_3 = T_1$). Следовательно, мы можем приравнять левые части этих уравнений:

$p_1V_1 = p_3V_3$

Из анализа графика следует, что $p_1 = p_2$ (процесс 1-2 изобарный) и $V_3 = V_2$ (процесс 2-3 изохорный). Подставим эти соотношения в полученное выше равенство:

$p_2V_1 = p_3V_2$

Из этого соотношения выразим отношение объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{p_2}{p_3}$

По условию задачи, $\frac{p_2}{p_3} = k$, значит, $\frac{V_2}{V_1} = k$. Отсюда получаем $V_2 = k \cdot V_1$.

Теперь подставим это выражение для $V_2$ в формулу для работы $A$:

$A = p_1(k \cdot V_1 - V_1) = p_1V_1(k-1)$

Вспомним уравнение состояния для точки 1: $p_1V_1 = \nu R T_1$. Сделаем замену в формуле для работы:

$A = \nu R T_1 (k-1)$

Наконец, из этого выражения выразим искомую температуру $T_1$:

$T_1 = \frac{A}{\nu R (k-1)}$

Ответ: $T_1 = \frac{A}{\nu R (k-1)}$.