Номер 743, страница 134 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Идеальный газ расширяется от начального объема $V_1$ до конечного объема $V_2$ ($V_2 > V_1$).

Рассматриваются три процесса, начинающиеся из одного и того же начального состояния ($P_1, V_1$):

1. Изотермический процесс ($T = \text{const}$)

2. Изобарный процесс ($P = \text{const}$)

3. Адиабатный процесс ($Q = 0$)

Найти:

В каком из трех процессов работа, совершаемая газом, будет наибольшей?

Решение:

Работа $A$, совершаемая газом при изменении его объема от $V_1$ до $V_2$, определяется как интеграл от давления по объему:

$A = \int_{V_1}^{V_2} P(V) \, dV$

Геометрически работа газа равна площади под графиком процесса в координатах ($P, V$). Чтобы сравнить работы в трех процессах, необходимо сравнить площади под соответствующими графиками на $PV$-диаграмме. Предположим, что все три процесса начинаются из одной и той же точки $(P_1, V_1)$ и заканчиваются при одном и том же конечном объеме $V_2$.

1. Изобарный процесс: Давление постоянно и равно начальному: $P_{изобар} = P_1$. График процесса — это горизонтальная линия, идущая из точки $(P_1, V_1)$ в точку $(P_1, V_2)$. Работа в этом процессе максимальна, так как на протяжении всего расширения давление остается на самом высоком (начальном) уровне.

2. Изотермический процесс: Температура постоянна. Согласно закону Бойля-Мариотта, $PV = \text{const}$. Давление изменяется обратно пропорционально объему: $P_{изотерм}(V) = \frac{P_1V_1}{V}$. Так как газ расширяется ($V > V_1$), давление в любой точке процесса (кроме начальной) будет меньше начального: $P_{изотерм}(V) < P_1$. График процесса (изотерма) идет ниже графика изобарного процесса.

3. Адиабатный процесс: Процесс происходит без теплообмена с окружающей средой ($Q=0$). При адиабатном расширении газ совершает работу за счет своей внутренней энергии, что приводит к его охлаждению. Процесс описывается уравнением Пуассона: $PV^\gamma = \text{const}$, где $\gamma$ — показатель адиабаты ($\gamma > 1$). Давление изменяется по закону: $P_{адиабат}(V) = P_1 \left(\frac{V_1}{V}\right)^\gamma$.

Сравним давление в изотермическом и адиабатном процессах при одинаковом объеме $V$ (где $V > V_1$):

$\frac{P_{адиабат}(V)}{P_{изотерм}(V)} = \frac{P_1(V_1/V)^\gamma}{P_1(V_1/V)} = \left(\frac{V_1}{V}\right)^{\gamma-1}$

Поскольку газ расширяется, $V > V_1$, то дробь $\frac{V_1}{V} < 1$. Так как показатель степени $\gamma-1 > 0$, то $\left(\frac{V_1}{V}\right)^{\gamma-1} < 1$. Следовательно, $P_{адиабат}(V) < P_{изотерм}(V)$ для любого объема $V > V_1$. Это означает, что график адиабатного процесса (адиабата) идет круче и всегда лежит ниже графика изотермического процесса, стартующего из той же точки.

Таким образом, для любого объема $V$ в интервале от $V_1$ до $V_2$ выполняется соотношение давлений:

$P_{адиабат}(V) < P_{изотерм}(V) < P_{изобар}(V)$

Поскольку работа — это площадь под кривой $P(V)$, то чем выше расположен график процесса, тем большую работу совершает газ. Сравнивая площади под графиками, получаем:

$A_{адиабат} < A_{изотерм} < A_{изобар}$

Ответ:

Сила давления газа совершает большую работу в результате изобарного процесса.