Номер 747, страница 135 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Количество вещества идеального газа, $ \nu = 1,00 \text{ моль} $
Начальное состояние газа (точка 1): $ V_1 = 100 \text{ см}^3, T_1 = 300 \text{ К} $
Конечное состояние газа (точка 2): $ V_2 = 200 \text{ см}^3, T_2 = 600 \text{ К} $
Универсальная газовая постоянная, $ R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} $

Перевод единиц в систему СИ:
$ V_1 = 100 \text{ см}^3 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 100 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 1,00 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 $
$ V_2 = 200 \text{ см}^3 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2,00 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 $

Найти:

Работу силы давления газа, $ A $.

Решение:

Работа, совершаемая газом при изменении его объема, в общем случае вычисляется по формуле: $ A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV $

Для нахождения зависимости давления $ p $ от объема $ V $ воспользуемся данными задачи. График процесса в координатах $ V-T $ представляет собой отрезок прямой. Проверим, проходит ли эта прямая через начало координат, что соответствует изобарному процессу (согласно закону Гей-Люссака, $ V/T = \text{const} $ при $ p = \text{const} $).

Найдем отношение объема к температуре для начального и конечного состояний:

Для начального состояния (точка 1): $ \frac{V_1}{T_1} = \frac{100 \text{ см}^3}{300 \text{ К}} = \frac{1}{3} \frac{\text{см}^3}{\text{К}} $

Для конечного состояния (точка 2): $ \frac{V_2}{T_2} = \frac{200 \text{ см}^3}{600 \text{ К}} = \frac{1}{3} \frac{\text{см}^3}{\text{К}} $

Так как $ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} $, то процесс является изобарным, то есть давление газа $ p $ в ходе процесса остается постоянным.

Для изобарного процесса формула для вычисления работы упрощается: $ A = p(V_2 - V_1) $

Давление $ p $ можно найти из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) для любого состояния, например, для начального: $ pV_1 = \nu R T_1 $ $ p = \frac{\nu R T_1}{V_1} $

Подставим числовые значения в системе СИ: $ p = \frac{1,00 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}}{1,00 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3} = \frac{2493}{10^{-4}} \text{ Па} = 2,493 \cdot 10^7 \text{ Па} $

Теперь вычислим работу газа при расширении: $ A = p(V_2 - V_1) = 2,493 \cdot 10^7 \text{ Па} \cdot (2,00 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 - 1,00 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3) $ $ A = 2,493 \cdot 10^7 \text{ Па} \cdot (1,00 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3) = 2493 \text{ Дж} $

Округлим результат до трех значащих цифр, как в исходных данных: $ A \approx 2,49 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 2,49 \text{ кДж} $.

Ответ: работа силы давления газа равна $ 2493 \text{ Дж} $ (или $ 2,49 \text{ кДж} $).