Номер 754, страница 136 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Идеальный газ, количество вещества $v = 1$ моль.

Циклический процесс 1-2-3-4-1, состоящий из двух изохор (1-2 и 3-4) и двух изобар (2-3 и 4-1).

Температура газа в состоянии 1: $T_1$.

Температура газа в состоянии 3: $T_3$.

Состояния 2 и 4 лежат на одной изотерме: $T_2 = T_4$.

Найти:

Работу $A$, совершенную газом за цикл.

Решение:

Работа, совершаемая газом в циклическом процессе, определяется как сумма работ на каждом этапе цикла: $A = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}$.

На участках 1-2 и 3-4 объем газа не меняется (изохорные процессы), поэтому работа газа на этих участках равна нулю: $A_{12} = 0$ и $A_{34} = 0$.

На участке 2-3 происходит изобарное расширение при давлении $p_2$ от объема $V_1$ до $V_2$. Работа газа на этом участке: $A_{23} = p_2(V_2 - V_1)$.

На участке 4-1 происходит изобарное сжатие при давлении $p_1$ от объема $V_2$ до $V_1$. Работа газа на этом участке: $A_{41} = p_1(V_1 - V_2) = -p_1(V_2 - V_1)$.

Полная работа за цикл равна:

$A = A_{23} + A_{41} = p_2(V_2 - V_1) - p_1(V_2 - V_1) = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1)$.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для каждого из четырех состояний:

1) $p_1 V_1 = v R T_1$

2) $p_2 V_1 = v R T_2$

3) $p_2 V_2 = v R T_3$

4) $p_1 V_2 = v R T_4$

Из условия $T_2 = T_4$ и уравнений для состояний 2 и 4 ($p_2 V_1 = v R T_2$ и $p_1 V_2 = v R T_4$) следует, что $p_2 V_1 = p_1 V_2$.

Перемножим уравнения для состояний 1 и 3:

$(p_1 V_1)(p_2 V_2) = (v R T_1)(v R T_3) = (v R)^2 T_1 T_3$.

Перемножим уравнения для состояний 2 и 4:

$(p_2 V_1)(p_1 V_2) = (v R T_2)(v R T_4) = (v R)^2 T_2 T_4$.

Левые части этих произведений равны, следовательно, равны и правые части:

$(v R)^2 T_1 T_3 = (v R)^2 T_2 T_4$, что дает $T_1 T_3 = T_2 T_4$.

Поскольку $T_2 = T_4$, мы получаем $T_2^2 = T_1 T_3$, откуда температура на изотерме, проходящей через точки 2 и 4, равна $T_2 = T_4 = \sqrt{T_1 T_3}$.

Теперь выразим работу через температуры. Раскроем скобки в формуле для работы:

$A = p_2 V_2 - p_2 V_1 - p_1 V_2 + p_1 V_1$.

Используя уравнения состояния, заменим каждое произведение $pV$ на соответствующее выражение с температурой:

$A = v R T_3 - v R T_2 - v R T_4 + v R T_1$.

Подставим $T_2 = T_4 = \sqrt{T_1 T_3}$:

$A = v R T_3 - v R \sqrt{T_1 T_3} - v R \sqrt{T_1 T_3} + v R T_1 = v R (T_1 + T_3 - 2\sqrt{T_1 T_3})$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$.

Следовательно, работа газа за цикл:

$A = v R (\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$.

По условию задачи количество вещества $v = 1$ моль, поэтому итоговая формула:

$A = R (\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$.

Ответ: $A = R (\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$.