Номер 760, страница 138 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 10 \text{ г}$

$M = 4.0 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$

$t_1 = 20 \text{ °C}$

$t_2 = 3.2 \cdot 10^2 \text{ °C} = 320 \text{ °C}$

$T \propto p^2$

$R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Перевод в СИ:

$m = 0.01 \text{ кг}$

$M = 4.0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

$T_1 = 20 + 273 = 293 \text{ К}$

$T_2 = 320 + 273 = 593 \text{ К}$

Найти:

$A$

Решение:

Работа, совершаемая газом при изменении его объема, в общем случае вычисляется как интеграл:

$A = \int_{V_1}^{V_2} p dV$

По условию задачи, температура газа изменяется пропорционально квадрату давления:

$T = k p^2$, где $k$ - некоторый коэффициент пропорциональности.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu RT$, где $\nu = \frac{m}{M}$ - количество вещества газа.

Чтобы найти зависимость между давлением $p$ и объемом $V$ в данном процессе, выразим температуру $T$ из уравнения состояния и подставим в уравнение процесса:

$T = \frac{pV}{\nu R}$

$\frac{pV}{\nu R} = k p^2$

Сократим на $p$ (так как давление не равно нулю):

$\frac{V}{\nu R} = k p$

Отсюда получаем линейную зависимость между давлением и объемом:

$p = \frac{1}{k \nu R} V$

Обозначив постоянную величину $\frac{1}{k \nu R}$ как $c$, получим $p = cV$.

Этот процесс является политропным с показателем политропы $n = -1$ (так как $pV^{-1} = c$).

Работу для такого процесса можно найти как площадь трапеции на диаграмме p-V (или через общую формулу для работы в политропном процессе):

$A = \frac{p_1 + p_2}{2} (V_2 - V_1)$

Используя соотношение $p=cV$, можно показать, что $p_1V_2 = (cV_1)V_2 = cV_1V_2$ и $p_2V_1 = (cV_2)V_1 = cV_1V_2$, то есть $p_1V_2 = p_2V_1$. Раскрывая скобки в формуле для работы, получим:

$A = \frac{1}{2}(p_1V_2 + p_2V_2 - p_1V_1 - p_2V_1) = \frac{1}{2}(p_2V_2 - p_1V_1)$

Теперь воспользуемся уравнением состояния идеального газа, согласно которому $p_1V_1 = \nu R T_1$ и $p_2V_2 = \nu R T_2$. Подставив эти выражения в формулу для работы, получим:

$A = \frac{1}{2}(\nu R T_2 - \nu R T_1) = \frac{1}{2} \nu R (T_2 - T_1)$

Найдем количество вещества газа:

$\nu = \frac{m}{M} = \frac{10 \text{ г}}{4.0 \frac{\text{г}}{\text{моль}}} = 2.5 \text{ моль}$

Теперь можем вычислить работу:

$\Delta T = T_2 - T_1 = 593 \text{ К} - 293 \text{ К} = 300 \text{ К}$

$A = \frac{1}{2} \cdot 2.5 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}$

$A = 1.25 \cdot 8.31 \cdot 300 \approx 3116.25 \text{ Дж}$

Округлим результат с учетом двух значащих цифр в исходных данных:

$A \approx 3.1 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 3.1 \text{ кДж}$

Ответ: $A \approx 3.1 \text{ кДж}$.