Номер 762, страница 138 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S = 100 \text{ см}^2$

$\nu = 1,00 \text{ моль}$

$m = 5,50 \text{ кг}$

$\Delta T = 100 \text{ K}$

$m_п = 5,00 \text{ кг}$

$p_a = 1,013 \cdot 10^5 \text{ Па}$ (нормальное атмосферное давление)

$R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

$g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:

$S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,01 \text{ м}^2$

Найти:

$\Delta h$

Решение:

Поскольку система находится в равновесии, рассмотрим силы, действующие на поршень. В вертикальном направлении на поршень действуют: сила тяжести поршня $m_п g$ (вниз), сила атмосферного давления $p_a S$ (вниз), сила давления газа под поршнем $pS$ (вверх) и сила натяжения нити $T$ (вверх).

Запишем второй закон Ньютона для поршня в проекции на вертикальную ось (направленную вверх):

$pS + T - p_a S - m_п g = 0$

Для подвешенного груза условие равновесия имеет вид:

$T - mg = 0 \implies T = mg$

Подставим выражение для силы натяжения нити $T$ в уравнение равновесия поршня:

$pS + mg - p_a S - m_п g = 0$

Отсюда найдем силу давления газа на поршень $pS$:

$pS = p_a S + m_п g - mg = p_a S + (m_п - m)g$

Так как все величины в правой части уравнения являются постоянными, то и давление газа $p$ под поршнем остается постоянным в течение всего процесса. Следовательно, охлаждение воздуха происходит при постоянном давлении (изобарный процесс).

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального и конечного состояний:

$pV_1 = \nu RT_1$

$pV_2 = \nu RT_2$

где $V_1, T_1$ и $V_2, T_2$ — начальные и конечные объем и температура газа соответственно.

Вычтем второе уравнение из первого:

$p(V_1 - V_2) = \nu R(T_1 - T_2)$

Изменение объема $\Delta V = V_1 - V_2$, а изменение температуры $\Delta T = T_1 - T_2 = 100 \text{ К}$ по условию. Тогда:

$p \Delta V = \nu R \Delta T$

При охлаждении газ сжимается, его объем уменьшается. Это означает, что поршень опускается на некоторую высоту $\Delta h$. Изменение объема газа равно $\Delta V = S \cdot \Delta h$. Когда поршень опускается на высоту $\Delta h$, подвешенный груз поднимается на ту же высоту $\Delta h$.

Подставим $\Delta V$ в предыдущее уравнение:

$pS \Delta h = \nu R \Delta T$

Отсюда выразим искомую высоту $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{\nu R \Delta T}{pS}$

Используя ранее полученное выражение для $pS$, получаем окончательную формулу:

$\Delta h = \frac{\nu R \Delta T}{p_a S + (m_п - m)g}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$\Delta h = \frac{1,00 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 100 \text{ К}}{1,013 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 0,01 \text{ м}^2 + (5,00 \text{ кг} - 5,50 \text{ кг}) \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}$

$\Delta h = \frac{831 \text{ Дж}}{1013 \text{ Н} + (-0,50 \text{ кг}) \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{831 \text{ Дж}}{1013 \text{ Н} - 4,9 \text{ Н}} = \frac{831 \text{ Дж}}{1008,1 \text{ Н}} \approx 0,824 \text{ м}$

Ответ: груз поднимется на высоту $\Delta h \approx 0,824 \text{ м}$ или $82,4 \text{ см}$.