Номер 757, страница 137 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Количество вещества гелия $v = 3,0$ моль

Процесс изобарный $p = \text{const}$

Отношение начальной и конечной концентраций $\frac{n_1}{n_2} = 3$

Работа газа $A = 15$ кДж

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$

$A = 15 \text{ кДж} = 15 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Найти:

Начальную температуру $t_0$.

Решение:

Концентрация молекул $n$ определяется как отношение числа молекул $N$ к объему $V$, который они занимают: $n = \frac{N}{V}$.

Пусть начальное состояние газа характеризуется концентрацией $n_1$ и объемом $V_1$, а конечное — концентрацией $n_2$ и объемом $V_2$. Поскольку количество вещества гелия в процессе не меняется, общее число молекул $N$ остается постоянным. По условию задачи, конечная концентрация в три раза меньше начальной: $n_2 = \frac{n_1}{3}$.

Используя определение концентрации, получаем: $\frac{N}{V_2} = \frac{1}{3} \frac{N}{V_1}$. Из этого соотношения следует, что конечный объем $V_2$ в три раза больше начального объема $V_1$: $V_2 = 3V_1$.

Процесс расширения является изобарным ($p = \text{const}$), поэтому работа, совершаемая газом, вычисляется по формуле:

$A = p \Delta V = p(V_2 - V_1)$

Подставим найденное соотношение объемов в формулу для работы:

$A = p(3V_1 - V_1) = 2pV_1$

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального состояния, характеризуемого давлением $p$, объемом $V_1$ и абсолютной температурой $T_0$:

$pV_1 = vRT_0$

Теперь подставим выражение для $pV_1$ в формулу для работы:

$A = 2(vRT_0)$

Из этого уравнения выразим начальную абсолютную температуру $T_0$ (в Кельвинах):

$T_0 = \frac{A}{2vR}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$T_0 = \frac{15 \cdot 10^3 \text{ Дж}}{2 \cdot 3,0 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}} = \frac{15000}{49,86} \text{ К} \approx 300,84 \text{ К}$

Для нахождения начальной температуры $t_0$ в градусах Цельсия воспользуемся формулой перевода:

$t_0 = T_0 - 273,15$

$t_0 \approx 300,84 - 273,15 = 27,69 ^\circ\text{С}$

Округляя результат до двух значащих цифр в соответствии с точностью исходных данных ($v=3,0$ моль, $A=15$ кДж), получаем:

$t_0 \approx 28 ^\circ\text{С}$

Ответ: начальная температура гелия $t_0 \approx 28 ^\circ\text{С}$.