Номер 759, страница 137 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v = 2,0 \text{ моль}$

$T_1 = 4,0 \cdot 10^2 \text{ К} = 400 \text{ К}$

$V_2 = 2V_1$

$T_2 = T_1$

$R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ (универсальная газовая постоянная)

Найти:

$A$

Решение:

Работа газа $A$ при изменении его объема от $V_1$ до $V_2$ численно равна площади фигуры под графиком процесса в координатах $p-V$.

Поскольку по условию давление линейно зависит от объема, график процесса является отрезком прямой. Работа газа в таком процессе вычисляется как площадь трапеции:

$A = \frac{p_1 + p_2}{2} (V_2 - V_1)$

где $p_1$ и $V_1$ - давление и объем в начальном состоянии, а $p_2$ и $V_2$ - в конечном.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального и конечного состояний:

$p_1 V_1 = v R T_1$

$p_2 V_2 = v R T_2$

Из условия задачи известно, что $V_2 = 2V_1$ и $T_2 = T_1$. Подставим эти соотношения в уравнение для конечного состояния:

$p_2 (2V_1) = v R T_1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $p_1 V_1 = v R T_1$

2) $2 p_2 V_1 = v R T_1$

Приравняем левые части уравнений:

$p_1 V_1 = 2 p_2 V_1$

Отсюда находим соотношение между начальным и конечным давлением:

$p_1 = 2 p_2$ или $p_2 = \frac{p_1}{2}$

Теперь подставим найденное соотношение для $p_2$ и заданное условие $V_2 = 2V_1$ в формулу для работы:

$A = \frac{p_1 + \frac{p_1}{2}}{2} (2V_1 - V_1) = \frac{\frac{3}{2} p_1}{2} \cdot V_1 = \frac{3}{4} p_1 V_1$

Из уравнения состояния для начального состояния мы знаем, что $p_1 V_1 = v R T_1$. Заменим произведение $p_1 V_1$ в формуле для работы:

$A = \frac{3}{4} v R T_1$

Подставим числовые значения:

$A = \frac{3}{4} \cdot 2,0 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 4,0 \cdot 10^2 \text{ К} = 1,5 \cdot 8,31 \cdot 400 \text{ Дж} = 4986 \text{ Дж}$

С учетом значащих цифр в условии ($2,0$ и $4,0$), округлим результат до двух значащих цифр.

$A \approx 5,0 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Ответ: $A = 4986 \text{ Дж} \approx 5,0 \cdot 10^3$ Дж.