Номер 755, страница 137 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Количество вещества идеального газа, $ \nu = 1 $ моль

Температура в состоянии 1: $ T_1 $

Температура в состоянии 3: $ T_3 $

Точки 1 и 3 на диаграмме $p-V$ лежат на одной прямой, проходящей через начало координат.

Найти:

Работу газа за цикл $ A $.

Решение:

Работа, совершаемая газом за один цикл, численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на диаграмме в координатах $p-V$. В данном случае цикл $ 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1 $ представляет собой прямоугольник.

Обозначим параметры газа в состояниях 1, 2, 3 и 4 как $ (p_1, V_1) $, $ (p_2, V_1) $, $ (p_2, V_2) $ и $ (p_1, V_2) $ соответственно.

Работа за цикл вычисляется как площадь этого прямоугольника:

$ A = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1) $

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для состояний 1 и 3:

$ p_1 V_1 = \nu R T_1 $ (1)

$ p_2 V_2 = \nu R T_3 $ (2)

Согласно условию, точки 1 (с координатами $p_1, V_1$) и 3 (с координатами $p_2, V_2$) лежат на одной прямой, проходящей через начало координат. Это означает, что для этих состояний отношение давления к объему одинаково:

$ \frac{p_1}{V_1} = \frac{p_2}{V_2} $

Из этого соотношения следует, что $ p_1 V_2 = p_2 V_1 $.

Выразим $ p_1 $ и $ p_2 $ из уравнений (1) и (2) и подставим в полученное соотношение:

$ p_1 = \frac{\nu R T_1}{V_1} $

$ p_2 = \frac{\nu R T_3}{V_2} $

$ \frac{\nu R T_1 / V_1}{V_1} = \frac{\nu R T_3 / V_2}{V_2} $

$ \frac{T_1}{V_1^2} = \frac{T_3}{V_2^2} $

Отсюда находим отношение объемов:

$ \frac{V_2^2}{V_1^2} = \frac{T_3}{T_1} \Rightarrow \frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{T_3}{T_1}} $

Так как $ \frac{p_2}{p_1} = \frac{V_2}{V_1} $, то и отношение давлений будет таким же:

$ \frac{p_2}{p_1} = \sqrt{\frac{T_3}{T_1}} $

Теперь подставим выражения для $ p_2 $ и $ V_2 $ через $ p_1 $ и $ V_1 $ в формулу для работы:

$ p_2 = p_1 \sqrt{\frac{T_3}{T_1}} $

$ V_2 = V_1 \sqrt{\frac{T_3}{T_1}} $

$ A = (p_1 \sqrt{\frac{T_3}{T_1}} - p_1)(V_1 \sqrt{\frac{T_3}{T_1}} - V_1) $

$ A = p_1 (\sqrt{\frac{T_3}{T_1}} - 1) \cdot V_1 (\sqrt{\frac{T_3}{T_1}} - 1) $

$ A = p_1 V_1 (\sqrt{\frac{T_3}{T_1}} - 1)^2 $

Используя уравнение (1), заменим $ p_1 V_1 $ на $ \nu R T_1 $:

$ A = \nu R T_1 \left(\frac{\sqrt{T_3}}{\sqrt{T_1}} - 1\right)^2 = \nu R T_1 \left(\frac{\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1}}{\sqrt{T_1}}\right)^2 $

$ A = \nu R T_1 \frac{(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2}{(\sqrt{T_1})^2} = \nu R T_1 \frac{(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2}{T_1} $

$ A = \nu R (\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2 $

По условию задачи $ \nu = 1 $ моль, следовательно:

$ A = R (\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2 $

Этот результат также можно записать в виде $ A = R(T_1 + T_3 - 2\sqrt{T_1 T_3}) $.

Ответ: $A = R (\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$.