Номер 756, страница 137 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Количество вещества: $v = 1$ моль
Тип газа: одноатомный идеальный газ
Начальная температура: $T_1 = T_0$
Процесс: изобарное сжатие, $p = \text{const}$
Соотношение концентраций: $n_2 = k \cdot n_1$

Найти:

$A$ - работу, совершаемую внешней силой.

Решение:

Работа $A$, совершаемая внешней силой, связана с работой $A_{газа}$, совершаемой самим газом, соотношением $A = -A_{газа}$.

При изобарном процессе (процессе с постоянным давлением $p$) работа, совершаемая газом, вычисляется по формуле:

$A_{газа} = p \cdot \Delta V = p(V_2 - V_1)$

где $V_1$ и $V_2$ – начальный и конечный объемы газа соответственно.

Концентрация молекул $n$ определяется как отношение числа молекул $N$ к объему $V$, который они занимают: $n = \frac{N}{V}$. Так как количество газа не меняется, число молекул $N$ постоянно. Следовательно, объем обратно пропорционален концентрации: $V = \frac{N}{n}$.

Для начального и конечного состояний газа можно записать:

$V_1 = \frac{N}{n_1}$

$V_2 = \frac{N}{n_2}$

Из условия задачи известно, что $n_2 = k \cdot n_1$. Подставим это в выражение для конечного объема:

$V_2 = \frac{N}{k \cdot n_1} = \frac{1}{k} \cdot \frac{N}{n_1} = \frac{V_1}{k}$

Теперь подставим это соотношение в формулу для работы газа:

$A_{газа} = p(V_2 - V_1) = p(\frac{V_1}{k} - V_1) = pV_1(\frac{1}{k} - 1) = pV_1 \frac{1-k}{k}$

Для определения произведения $pV_1$ воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева–Клапейрона) для начального состояния:

$pV_1 = vRT_1$

По условию, начальная температура $T_1 = T_0$. Тогда:

$pV_1 = vRT_0$

Подставим это в выражение для работы газа:

$A_{газа} = vRT_0 \frac{1-k}{k}$

Работа, совершаемая внешней силой, равна работе газа, взятой с противоположным знаком:

$A = -A_{газа} = -vRT_0 \frac{1-k}{k} = vRT_0 \frac{k-1}{k}$

Подставим в полученную формулу значение количества вещества $v = 1$ моль:

$A = 1 \cdot RT_0 \frac{k-1}{k} = RT_0 \frac{k-1}{k}$

Ответ: $A = RT_0 \frac{k-1}{k}$.