Номер 740, страница 134 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 0,50 \text{ г}$ (масса водорода H₂)

$m_2 = 1,4 \text{ г}$ (масса гелия He)

$A = 3,0 \text{ кДж}$ (работа газа)

$t_1 = 27°C$ (начальная температура)

$p = \text{const}$ (процесс изобарный)

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 0,50 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$m_2 = 1,4 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$A = 3,0 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

$\frac{V_2}{V_1}$

Решение:

Процесс расширения смеси газов является изобарным ($p = \text{const}$), поэтому работа, совершаемая газом, определяется по формуле:

$A = p \Delta V = p(V_2 - V_1)$

где $p$ – постоянное давление, $V_1$ и $V_2$ – начальный и конечный объемы газа соответственно.

Для смеси идеальных газов можно записать уравнение состояния (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального состояния:

$p V_1 = \nu R T_1$

Здесь $\nu$ – общее количество вещества смеси, $R$ – универсальная газовая постоянная ($R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$), $T_1$ – начальная абсолютная температура.

Преобразуем формулу для работы:

$A = pV_2 - pV_1$

Вынесем $pV_1$ за скобки:

$A = pV_1 \left( \frac{V_2}{V_1} - 1 \right)$

Подставим в это выражение $pV_1$ из уравнения состояния:

$A = \nu R T_1 \left( \frac{V_2}{V_1} - 1 \right)$

Выразим отсюда искомое отношение объемов $\frac{V_2}{V_1}$:

$\frac{V_2}{V_1} - 1 = \frac{A}{\nu R T_1}$

$\frac{V_2}{V_1} = 1 + \frac{A}{\nu R T_1}$

Общее количество вещества смеси $\nu$ равно сумме количеств вещества водорода ($\nu_1$) и гелия ($\nu_2$):

$\nu = \nu_1 + \nu_2 = \frac{m_1}{M_1} + \frac{m_2}{M_2}$

где $M_1$ и $M_2$ – молярные массы водорода (H₂) и гелия (He).

Молярная масса водорода H₂: $M_1 = 2 \text{ г/моль} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$.

Молярная масса гелия He: $M_2 = 4 \text{ г/моль} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$.

Вычислим количество вещества каждого газа и общее количество вещества:

$\nu_1 = \frac{0,50 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 0,25 \text{ моль}$

$\nu_2 = \frac{1,4 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 0,35 \text{ моль}$

$\nu = 0,25 \text{ моль} + 0,35 \text{ моль} = 0,60 \text{ моль}$

Теперь подставим все числовые значения в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = 1 + \frac{3,0 \cdot 10^3 \text{ Дж}}{0,60 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}} = 1 + \frac{3000}{1495,8} \approx 1 + 2,0056 \approx 3,0056$

Учитывая точность исходных данных (два знака в значении работы), результат следует округлить.

Ответ: Объем газа увеличился примерно в 3,0 раза.