Номер 1120, страница 255 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1120. Два проволочных витка, расположенные в одной плоскости, находятся в изменяющемся с течением времени однородном магнитном поле. За одинаковый промежуток времени в первом витке возникла ЭДС индукции $\mathcal{E}_{\text{инд1}} = 0,13 \text{ В}$, а во втором — $\mathcal{E}_{\text{инд2}} = 0,52 \text{ В}$. Определите, во сколько раз отличаются длины проволок, из которых изготовлены витки.

Дано:

ЭДС индукции в первом витке, $\mathscr{E}_{инд1} = 0,13$ В

ЭДС индукции во втором витке, $\mathscr{E}_{инд2} = 0,52$ В

Промежуток времени для обоих витков одинаковый, $\Delta t_1 = \Delta t_2$

Магнитное поле однородно и изменяется одинаково для обоих витков.

Найти:

Отношение длин проволок, $\frac{L_2}{L_1}$

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, равна по модулю скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром:

$\mathscr{E}_{инд} = \left| -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|$

Магнитный поток $\Phi$ через плоский контур площадью $S$, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией $B$, определяется как:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos\alpha$

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости контура.

Так как витки находятся в одном и том же изменяющемся магнитном поле и в одной плоскости, то угол $\alpha$ и скорость изменения магнитной индукции $\frac{\Delta B}{\Delta t}$ для них одинаковы. Изменение магнитного потока происходит за счет изменения магнитной индукции $B$:

$\Delta \Phi = \Delta B \cdot S \cdot \cos\alpha$

Тогда ЭДС индукции для каждого витка можно записать как:

$\mathscr{E}_{инд} = S \cdot \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| \cdot \cos\alpha$

Для первого и второго витков соответственно:

$\mathscr{E}_{инд1} = S_1 \cdot \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| \cdot \cos\alpha$

$\mathscr{E}_{инд2} = S_2 \cdot \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| \cdot \cos\alpha$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти отношение площадей витков:

$\frac{\mathscr{E}_{инд2}}{\mathscr{E}_{инд1}} = \frac{S_2 \cdot \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| \cdot \cos\alpha}{S_1 \cdot \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| \cdot \cos\alpha} = \frac{S_2}{S_1}$

Теперь необходимо связать площадь витка $S$ с длиной проволоки $L$, из которой он изготовлен. Площадь контура, ограниченного проволокой заданной длины, зависит от его формы. Однако для любой геометрической фигуры площадь пропорциональна квадрату ее периметра (в данном случае длины проволоки). Предположим, что оба витка имеют одинаковую форму (например, оба круглые или оба квадратные).

Например, для круглого витка длиной $L$ (длина окружности) и радиусом $R$:

$L = 2\pi R$, откуда $R = \frac{L}{2\pi}$

Площадь круга: $S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{4\pi^2} = \frac{L^2}{4\pi}$

Таким образом, $S \propto L^2$. Отношение площадей можно выразить через отношение длин:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{c L_2^2}{c L_1^2} = \left(\frac{L_2}{L_1}\right)^2$, где $c$ — коэффициент пропорциональности, зависящий от формы витка.

Подставим это соотношение в формулу для отношения ЭДС:

$\frac{\mathscr{E}_{инд2}}{\mathscr{E}_{инд1}} = \left(\frac{L_2}{L_1}\right)^2$

Отсюда найдем искомое отношение длин проволок:

$\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{\mathscr{E}_{инд2}}{\mathscr{E}_{инд1}}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{0,52}{0,13}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, длина проволоки второго витка в 2 раза больше длины проволоки первого витка.

Ответ: Длины проволок, из которых изготовлены витки, отличаются в 2 раза.