Номер 1124, страница 256 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1124. Проволочный виток имеет узкий разрез, в который включен незаряженный конденсатор емкостью $C = 80 \text{ мФ}$. Виток помещают в однородное магнитное поле, линии индукции которого составляют с плоскостью витка угол $\alpha = 60^{\circ}$. Модуль индукции магнитного поля изменяется со скоростью $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 50 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$. Определите энергию электрического поля в конденсаторе, если площадь плоской поверхности, ограниченной витком, $S = 100 \text{ см}^2$.

Дано:

$C = 80 \text{ мФ} = 80 \cdot 10^{-3} \text{ Ф} = 8 \cdot 10^{-2} \text{ Ф}$

$S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10^{-2} \text{ м}^2$

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = 50 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

$W$

Решение:

Изменение магнитного поля, пронизывающего проволочный виток, создает в нем электродвижущую силу (ЭДС) индукции. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, модуль ЭДС индукции $|\mathcal{E}_i|$ равен скорости изменения магнитного потока $\Phi$ через поверхность, ограниченную витком:

$|\mathcal{E}_i| = |\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}|$

Магнитный поток $\Phi$ через плоскую поверхность площадью $S$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$ определяется формулой:

$\Phi = B S \cos \theta$

где $\theta$ — это угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) к плоскости витка. По условию, угол $\alpha$ составляет $60^\circ$ между линиями индукции и плоскостью витка. Следовательно, угол между вектором индукции и нормалью к плоскости будет:

$\theta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Тогда формулу для магнитного потока можно переписать с использованием угла $\alpha$:

$\Phi = B S \cos(90^\circ - \alpha) = B S \sin \alpha$

Так как площадь витка $S$ и угол $\alpha$ постоянны, изменение магнитного потока со временем происходит только за счет изменения модуля индукции магнитного поля $B$. Скорость изменения потока будет равна:

$\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{\Delta(B S \sin \alpha)}{\Delta t} = S \sin \alpha \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Таким образом, модуль ЭДС индукции в витке равен:

$|\mathcal{E}_i| = S \sin \alpha \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Возникшая ЭДС будет заряжать конденсатор. Так как в цепи нет других элементов (сопротивление витка пренебрежимо мало), напряжение на конденсаторе $U_C$ в установившемся режиме будет равно модулю ЭДС индукции:

$U_C = |\mathcal{E}_i|$

Вычислим значение ЭДС:

$|\mathcal{E}_i| = 10^{-2} \text{ м}^2 \cdot \sin(60^\circ) \cdot 50 \frac{\text{Тл}}{\text{с}} = 10^{-2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 50 \text{ В} = 0.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ В} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ В}$

Энергия $W$ электрического поля, запасенная в конденсаторе, вычисляется по формуле:

$W = \frac{C U_C^2}{2}$

Подставим в эту формулу значение напряжения $U_C = |\mathcal{E}_i|$ и известные величины:

$W = \frac{C (|\mathcal{E}_i|)^2}{2} = \frac{8 \cdot 10^{-2} \text{ Ф}}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ В} \right)^2 = 4 \cdot 10^{-2} \cdot \frac{3}{16} \text{ Дж} = \frac{12}{16} \cdot 10^{-2} \text{ Дж} = \frac{3}{4} \cdot 10^{-2} \text{ Дж}$

$W = 0.75 \cdot 10^{-2} \text{ Дж} = 7.5 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Это значение можно также выразить в миллиджоулях: $7.5 \text{ мДж}$.

Ответ: энергия электрического поля в конденсаторе равна $7.5 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$.