Номер 1122, страница 255 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1122. Из тонкой проволоки, покрытой изоляционным лаком, изготовили контур в форме прямоугольника, длины сторон которого относятся как 5 : 1. Контур расположен в однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 0,40$ Тл, а линии индукции составляют угол $\alpha = 30^\circ$ с плоскостью, ограниченной контуром. За промежуток времени $\Delta t = 8,0$ мс контур превратили в квадрат без изменения длины проволоки и ориентации контура в поле. Определите длину проволоки, если во время трансформации контура в нем возникала ЭДС индукции, среднее значение которой $\langle \mathcal{E}_{\text{инд}} \rangle = -0,16$ В.

Дано:

$a_1/b_1 = 5/1$

$B = 0,40 \text{ Тл}$

$\alpha = 30^\circ$

$\Delta t = 8,0 \text{ мс} = 8,0 \cdot 10^{-3} \text{ с}$

$\langle\mathscr{E}_{ind}\rangle = -0,16 \text{ В}$

Найти:

$L$

Решение:

Среднее значение ЭДС индукции, возникающей в контуре, определяется законом электромагнитной индукции Фарадея:

$\langle\mathscr{E}_{ind}\rangle = - \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$

где $\Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1$ — изменение магнитного потока через контур.

Магнитный поток $\Phi$ через плоский контур площадью $S$, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией $B$, равен:

$\Phi = B S \cos\theta$

где $\theta$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) $\vec{n}$ к плоскости контура. В условии дан угол $\alpha$ между линиями индукции и плоскостью контура, поэтому $\theta = 90^\circ - \alpha$.

Тогда $\cos\theta = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Формула для магнитного потока принимает вид:

$\Phi = B S \sin\alpha$

Изменение магнитного потока обусловлено изменением площади контура от начальной $S_1$ (прямоугольник) до конечной $S_2$ (квадрат):

$\Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = B S_2 \sin\alpha - B S_1 \sin\alpha = B (S_2 - S_1) \sin\alpha$

Выразим площади $S_1$ и $S_2$ через искомую длину проволоки $L$. Длина проволоки $L$ равна периметру контура.

1. Начальное состояние (прямоугольник):

Пусть стороны прямоугольника равны $a_1$ и $b_1$. По условию $a_1 = 5b_1$.

Периметр $L = 2(a_1 + b_1) = 2(5b_1 + b_1) = 12b_1$.

Отсюда находим стороны: $b_1 = L/12$ и $a_1 = 5L/12$.

Площадь прямоугольника: $S_1 = a_1 b_1 = (\frac{5L}{12})(\frac{L}{12}) = \frac{5L^2}{144}$.

2. Конечное состояние (квадрат):

Пусть сторона квадрата равна $a_2$.

Периметр $L = 4a_2$, откуда $a_2 = L/4$.

Площадь квадрата: $S_2 = a_2^2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16}$.

Найдем изменение площади:

$S_2 - S_1 = \frac{L^2}{16} - \frac{5L^2}{144} = \frac{9L^2}{144} - \frac{5L^2}{144} = \frac{4L^2}{144} = \frac{L^2}{36}$.

Подставим все выражения в формулу для ЭДС индукции:

$\langle\mathscr{E}_{ind}\rangle = - \frac{B (S_2 - S_1) \sin\alpha}{\Delta t} = - \frac{B (\frac{L^2}{36}) \sin\alpha}{\Delta t} = - \frac{B L^2 \sin\alpha}{36 \Delta t}$

Выразим из этой формулы длину проволоки $L$. Так как $\langle\mathscr{E}_{ind}\rangle$ отрицательна, а все величины в правой части (кроме знака "минус") положительны, возьмем модуль от обеих частей уравнения:

$|\langle\mathscr{E}_{ind}\rangle| = \frac{B L^2 \sin\alpha}{36 \Delta t}$

$L^2 = \frac{36 \Delta t |\langle\mathscr{E}_{ind}\rangle|}{B \sin\alpha}$

$L = \sqrt{\frac{36 \Delta t |\langle\mathscr{E}_{ind}\rangle|}{B \sin\alpha}} = 6 \sqrt{\frac{\Delta t |\langle\mathscr{E}_{ind}\rangle|}{B \sin\alpha}}$

Подставим числовые значения:

$L = 6 \sqrt{\frac{8,0 \cdot 10^{-3} \text{ с} \cdot 0,16 \text{ В}}{0,40 \text{ Тл} \cdot \sin(30^\circ)}} = 6 \sqrt{\frac{8,0 \cdot 10^{-3} \cdot 0,16}{0,40 \cdot 0,5}} = 6 \sqrt{\frac{1,28 \cdot 10^{-3}}{0,2}} = 6 \sqrt{6,4 \cdot 10^{-3}} = 6 \sqrt{64 \cdot 10^{-4}}$

$L = 6 \cdot 8 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 48 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,48 \text{ м}$.

Ответ: $L=0,48 \text{ м}$.