Номер 1129, страница 257 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1129. Квадратная рамка со стороной $a = 6,8 \text{ см}$, изготовленная из медной проволоки площадью поперечного сечения $S = 1 \text{ мм}^2$, помещена в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Скорость изменения модуля индукции магнитного поля $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 0,2 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$. Определите силу индукционного тока в рамке.

Дано:

$a = 6,8 \, см$

$S = 1 \, мм^2$

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = 0,2 \, \frac{Тл}{с}$

Материал рамки - медь.

Удельное сопротивление меди (справочное значение): $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8} \, Ом \cdot м$

Перевод в систему СИ:

$a = 6,8 \cdot 10^{-2} \, м = 0,068 \, м$

$S = 1 \, (10^{-3} \, м)^2 = 1 \cdot 10^{-6} \, м^2$

Найти:

$I$

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции ($\mathcal{E}_i$), возникающая в замкнутом контуре, равна по модулю скорости изменения магнитного потока ($\Phi$) через поверхность, ограниченную этим контуром:

$\mathcal{E}_i = \left| -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|$

Магнитный поток через рамку определяется формулой $\Phi = B \cdot A \cdot \cos{\alpha}$, где $A$ – площадь рамки, а $\alpha$ – угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки. По условию, плоскость рамки перпендикулярна линиям индукции, значит, угол между нормалью к рамке и вектором индукции равен $0^\circ$, и $\cos{\alpha} = 1$.

Поскольку площадь рамки $A$ не изменяется, изменение магнитного потока связано только с изменением модуля индукции магнитного поля:

$\Delta \Phi = \Delta(B \cdot A) = A \cdot \Delta B$

Тогда ЭДС индукции:

$\mathcal{E}_i = \frac{A \cdot \Delta B}{\Delta t} = A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Площадь квадратной рамки равна $A = a^2$.

$\mathcal{E}_i = a^2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Силу индукционного тока $I$ найдем по закону Ома для замкнутой цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}_i}{R}$, где $R$ – электрическое сопротивление рамки.

Сопротивление проводника вычисляется по формуле $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $l$ – длина проводника, $S$ – площадь его поперечного сечения.

Длина проволоки, из которой сделана рамка, равна ее периметру: $l = 4a$.

Тогда сопротивление рамки: $R = \frac{4 \rho a}{S}$.

Подставим выражения для ЭДС и сопротивления в формулу для силы тока:

$I = \frac{a^2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}}{\frac{4 \rho a}{S}} = \frac{a^2 S}{4 \rho a} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{a S}{4 \rho} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$I = \frac{0,068 \, м \cdot 1 \cdot 10^{-6} \, м^2}{4 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \, Ом \cdot м} \cdot 0,2 \, \frac{Тл}{с} = \frac{0,068 \cdot 10^{-6}}{6,8 \cdot 10^{-8}} \cdot 0,2 \, А = \frac{6,8 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-6}}{6,8 \cdot 10^{-8}} \cdot 0,2 \, А$

$I = 10^{-2} \cdot 10^{-6} \cdot 10^8 \cdot 0,2 \, А = 10^0 \cdot 0,2 \, А = 0,2 \, А$

Ответ: сила индукционного тока в рамке равна $0,2 \, А$.