Номер 1136, страница 259 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1136. Два кольца из медных проволок одинаковой массы, но разного поперечного сечения расположены в одной плоскости в однородном магнитном поле, индукция которого равномерно уменьшается. Определите силу индукционного тока в кольце, изготовленном из тонкой проволоки, если в другом кольце, изготовленном из толстой проволоки, сила индукционного тока $I_{\text{инд2}} = 1,0 \text{ мА}$.

Дано:

Два кольца из медной проволоки.
Массы колец одинаковы: $m_1 = m_2 = m$.
Кольцо 1 изготовлено из тонкой проволоки.
Кольцо 2 изготовлено из толстой проволоки.
Сила индукционного тока в толстом кольце: $I_{ind2} = 1.0 \text{ мА}$.

Перевод в СИ:
$I_{ind2} = 1.0 \times 10^{-3} \text{ А}$.

Найти:

Силу индукционного тока в кольце из тонкой проволоки: $I_{ind1}$.

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, равна по модулю скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром:

$|\mathcal{E}_{ind}| = |\frac{d\Phi_B}{dt}|$

Магнитный поток $\Phi_B$ через кольцо площадью $A$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярной плоскости кольца, равен $\Phi_B = B \cdot A$. Так как площадь кольца $A$ не меняется, а индукция $B$ меняется со временем, ЭДС индукции будет:

$|\mathcal{E}_{ind}| = A \cdot |\frac{dB}{dt}|$

Площадь кольца радиусом $r$ равна $A = \pi r^2$. Тогда:

$|\mathcal{E}_{ind}| = \pi r^2 \cdot |\frac{dB}{dt}|$

Сила индукционного тока $I_{ind}$ в кольце определяется законом Ома для замкнутой цепи:

$I_{ind} = \frac{|\mathcal{E}_{ind}|}{R}$

где $R$ – сопротивление кольца. Сопротивление проволоки, из которой сделано кольцо, вычисляется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S_{cs}}$

Здесь $\rho$ – удельное сопротивление меди, $L$ – длина проволоки (длина окружности кольца), $S_{cs}$ – площадь поперечного сечения проволоки. Длина проволоки $L = 2\pi r$.

Подставим выражения для ЭДС и сопротивления в формулу для силы тока:

$I_{ind} = \frac{\pi r^2 |\frac{dB}{dt}|}{\rho \frac{2\pi r}{S_{cs}}} = \frac{r S_{cs}}{2\rho} |\frac{dB}{dt}|$

Масса кольца $m$ определяется через плотность меди $\rho_d$, длину проволоки $L$ и площадь её поперечного сечения $S_{cs}$:

$m = V \cdot \rho_d = (L \cdot S_{cs}) \cdot \rho_d = (2\pi r \cdot S_{cs}) \cdot \rho_d$

По условию задачи, массы колец одинаковы ($m_1 = m_2$). Так как оба кольца изготовлены из меди, их плотности $\rho_d$ и удельные сопротивления $\rho$ также одинаковы. Приравняем массы колец:

$m_1 = m_2$

$(2\pi r_1 \cdot S_{cs1}) \cdot \rho_d = (2\pi r_2 \cdot S_{cs2}) \cdot \rho_d$

Отсюда получаем соотношение между радиусами и площадями сечений:

$r_1 S_{cs1} = r_2 S_{cs2}$

Теперь сравним силы индукционного тока в двух кольцах. Запишем выражения для токов, используя полученную ранее формулу:

$I_{ind1} = \frac{r_1 S_{cs1}}{2\rho} |\frac{dB}{dt}|$

$I_{ind2} = \frac{r_2 S_{cs2}}{2\rho} |\frac{dB}{dt}|$

Поскольку $r_1 S_{cs1} = r_2 S_{cs2}$, а величины $\rho$ и $|\frac{dB}{dt}|$ (скорость изменения магнитного поля) одинаковы для обоих колец, то правые части этих выражений равны. Следовательно, равны и силы индукционного тока:

$I_{ind1} = I_{ind2}$

Так как сила индукционного тока в кольце из толстой проволоки $I_{ind2} = 1.0 \text{ мА}$, то и сила тока в кольце из тонкой проволоки будет такой же.

$I_{ind1} = 1.0 \text{ мА}$

Ответ: сила индукционного тока в кольце, изготовленном из тонкой проволоки, равна $1.0 \text{ мА}$.