Номер 1135, страница 258 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1135. Круговой и квадратный контуры, изготовленные из одинаковых кусков проволоки, расположены в одной плоскости в однородном магнитном поле, которое изменяется с течением времени. Определите отношение индукционных токов в контурах.

Дано:

Круговой и квадратный контуры изготовлены из одинаковых кусков проволоки, что означает:

Длина проволоки одинакова: $ L_к = L_{кв} = L $

Сопротивление контуров одинаково: $ R_к = R_{кв} = R $

Контуры находятся в одной плоскости в однородном магнитном поле, которое изменяется с течением времени. Скорость изменения индукции магнитного поля $ \frac{dB}{dt} $ одинакова для обоих контуров.

Найти:

Отношение индукционных токов в контурах $ \frac{I_к}{I_{кв}} $.

Решение:

Сила индукционного тока $ I $, возникающего в замкнутом контуре, согласно закону Ома для полной цепи, равна отношению ЭДС индукции $ \mathcal{E} $ к сопротивлению контура $ R $: $ I = \frac{\mathcal{E}}{R} $

ЭДС индукции $ \mathcal{E} $ определяется законом Фарадея и равна модулю скорости изменения магнитного потока $ \Phi $ через поверхность, ограниченную контуром: $ \mathcal{E} = \left| -\frac{d\Phi}{dt} \right| $

Магнитный поток через контур площадью $ A $ в однородном магнитном поле $ B $, перпендикулярном плоскости контура, равен $ \Phi = B \cdot A $. Поскольку контуры неподвижны, их площади постоянны, а изменяется только магнитное поле, то ЭДС индукции можно выразить как: $ \mathcal{E} = A \left| \frac{dB}{dt} \right| $

По условию, контуры изготовлены из одинаковых кусков проволоки, поэтому их сопротивления равны ($ R_к = R_{кв} = R $).

Найдем площади контуров, выразив их через одинаковую для обоих контуров длину проволоки $ L $.

Для кругового контура (индекс "к"):
Длина проволоки равна длине окружности: $ L = 2\pi r $, где $ r $ — радиус.
Отсюда находим радиус: $ r = \frac{L}{2\pi} $.
Площадь круга: $ A_к = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \pi \frac{L^2}{4\pi^2} = \frac{L^2}{4\pi} $.

Для квадратного контура (индекс "кв"):
Длина проволоки равна периметру квадрата: $ L = 4a $, где $ a $ — сторона квадрата.
Отсюда находим сторону: $ a = \frac{L}{4} $.
Площадь квадрата: $ A_{кв} = a^2 = \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{L^2}{16} $.

Теперь запишем выражения для индукционных токов в каждом контуре.

Ток в круговом контуре: $ I_к = \frac{\mathcal{E}_к}{R} = \frac{A_к}{R} \left| \frac{dB}{dt} \right| = \frac{L^2}{4\pi R} \left| \frac{dB}{dt} \right| $

Ток в квадратном контуре: $ I_{кв} = \frac{\mathcal{E}_{кв}}{R} = \frac{A_{кв}}{R} \left| \frac{dB}{dt} \right| = \frac{L^2}{16R} \left| \frac{dB}{dt} \right| $

Найдем искомое отношение токов, разделив выражение для $ I_к $ на выражение для $ I_{кв} $: $ \frac{I_к}{I_{кв}} = \frac{\frac{L^2}{4\pi R} \left| \frac{dB}{dt} \right|}{\frac{L^2}{16R} \left| \frac{dB}{dt} \right|} $

Сокращая общие множители $ L^2 $, $ R $ и $ \left| \frac{dB}{dt} \right| $, получаем: $ \frac{I_к}{I_{кв}} = \frac{1 / (4\pi)}{1 / 16} = \frac{16}{4\pi} = \frac{4}{\pi} $

Это соотношение показывает, что индукционный ток в круговом контуре больше, чем в квадратном, так как при одинаковом периметре круг имеет наибольшую площадь среди всех плоских фигур.

Ответ: Отношение индукционного тока в круговом контуре к индукционному току в квадратном контуре равно $ \frac{4}{\pi} $.