Номер 1142, страница 260 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1142. Сначала квадрат, изготовленный из проволоки длиной $l = 80 \text{ мм}$ и сопротивлением $R = 5,0 \text{ Ом}$, поместили в однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 0,20 \text{ Тл}$. Линии индукции магнитного поля перпендикулярны поверхности, ограниченной квадратом. Затем, не изменяя плоскости трансформации, деформировали его в прямоугольник с отношением сторон $1:3$. Определите число электронов, прошедших через поперечное сечение проволоки, если площадь контура изменялась равномерно.

Дано:

$l = 80 \text{ мм}$

$R = 5,0 \text{ Ом}$

$B = 0,20 \text{ Тл}$

Соотношение сторон прямоугольника $1:3$

Элементарный заряд $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в СИ:

$l = 80 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,08 \text{ м}$

Найти:

$N$ - число электронов.

Решение:

При изменении формы контура с квадрата на прямоугольник изменяется его площадь, а следовательно, и магнитный поток, пронизывающий контур. Изменение магнитного потока вызывает появление индукционной ЭДС и индукционного тока в проволоке. Согласно закону Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$ равна скорости изменения магнитного потока:

$\mathcal{E}_i = \left|-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = \frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$

По закону Ома для замкнутой цепи, индукционный ток $I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = \frac{|\Delta\Phi|}{R\Delta t}$.

Заряд $q$, прошедший через поперечное сечение проводника за время $\Delta t$, равен $q = I \cdot \Delta t$.

Подставив выражение для тока, получим: $q = \frac{|\Delta\Phi|}{R\Delta t} \cdot \Delta t = \frac{|\Delta\Phi|}{R}$.

Магнитный поток $\Phi$ через контур площадью $S$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$ определяется как $\Phi = B S \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости контура. По условию, линии индукции перпендикулярны поверхности, значит $\alpha = 0$, и $\cos(\alpha) = 1$.

Тогда изменение потока равно: $|\Delta\Phi| = |\Phi_2 - \Phi_1| = |B S_2 - B S_1| = B |S_2 - S_1| = B |\Delta S|$.

Следовательно, прошедший заряд $q = \frac{B |\Delta S|}{R}$.

Общий заряд $q$ также связан с числом электронов $N$ и элементарным зарядом $e$ соотношением: $q = N e$.

Приравнивая выражения для заряда, найдем число электронов: $N e = \frac{B |\Delta S|}{R} \implies N = \frac{B |\Delta S|}{R e}$.

Теперь найдем начальную и конечную площади контура.

1. Квадрат:

Периметр квадрата равен длине проволоки $l$. Сторона квадрата $a = \frac{l}{4}$.

Начальная площадь $S_1 = a^2 = \left(\frac{l}{4}\right)^2 = \frac{l^2}{16}$.

$S_1 = \frac{(0,08 \text{ м})^2}{16} = \frac{0,0064 \text{ м}^2}{16} = 0,0004 \text{ м}^2 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

2. Прямоугольник:

Периметр прямоугольника также равен $l$. Пусть его стороны равны $x$ и $y$. Тогда $2(x+y) = l$.

По условию, соотношение сторон $y = 3x$.

Подставим в формулу периметра: $2(x + 3x) = l \Rightarrow 2 \cdot 4x = l \Rightarrow 8x = l$.

Отсюда $x = \frac{l}{8}$ и $y = 3 \cdot \frac{l}{8} = \frac{3l}{8}$.

Конечная площадь $S_2 = x y = \frac{l}{8} \cdot \frac{3l}{8} = \frac{3l^2}{64}$.

$S_2 = \frac{3 \cdot (0,08 \text{ м})^2}{64} = \frac{3 \cdot 0,0064 \text{ м}^2}{64} = 3 \cdot 0,0001 \text{ м}^2 = 0,0003 \text{ м}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Изменение площади контура: $|\Delta S| = |S_2 - S_1| = |3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 - 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2| = |-1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2| = 1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Теперь можем рассчитать число электронов $N$:

$N = \frac{B |\Delta S|}{R e} = \frac{0,20 \text{ Тл} \cdot 1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2}{5,0 \text{ Ом} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}$.

$N = \frac{2 \cdot 10^{-5}}{8 \cdot 10^{-19}} = 0,25 \cdot 10^{14} = 2,5 \cdot 10^{13}$.

Ответ: число электронов, прошедших через поперечное сечение проволоки, равно $2,5 \cdot 10^{13}$.