Номер 1146, страница 261 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1146. В однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 54 \text{ мТл}$, находится квадратная рамка со стороной $l = 20 \text{ см}$, изготовленная из алюминиевой проволоки поперечным сечением $S_c = 8,0 \text{ мм}^2$. Линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости рамки. Рамку деформировали, придав ей форму ромба площадью $S_p = 0,40l^2$. При деформации плоскость рамки не изменялась. Определите модуль заряда, прошедшего по проволоке за время деформации рамки.

Дано:
Модуль индукции магнитного поля, $B = 54$ мТл
Сторона квадратной рамки, $l = 20$ см
Площадь поперечного сечения проволоки, $S_c = 8,0$ мм²
Площадь рамки в форме ромба, $S_p = 0,40l^2$
Материал проволоки - алюминий, удельное сопротивление $\rho = 2,8 \cdot 10^{-8}$ Ом·м (табличное значение)

Перевод в систему СИ:
$B = 54 \cdot 10^{-3}$ Тл
$l = 0,20$ м
$S_c = 8,0 \cdot 10^{-6}$ м²

Найти:
Модуль заряда, прошедшего по проволоке, $\Delta q$.

Решение:
При изменении магнитного потока $\Phi$, пронизывающего замкнутый контур, в нем, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$:
$\mathcal{E}_i = - \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$
где $\Delta \Phi$ - изменение магнитного потока за время $\Delta t$.

Эта ЭДС создает в рамке индукционный ток $I$, сила которого по закону Ома для замкнутой цепи равна:
$I = \frac{|\mathcal{E}_i|}{R} = \frac{1}{R} \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|$
где $R$ - сопротивление рамки.

Сила тока также определяется как заряд $\Delta q$, прошедший через поперечное сечение проводника за время $\Delta t$:
$I = \frac{\Delta q}{\Delta t}$

Приравнивая выражения для силы тока, находим искомый заряд:
$\frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{|\Delta \Phi|}{R \cdot \Delta t}$
$\Delta q = \frac{|\Delta \Phi|}{R}$

Магнитный поток через контур вычисляется по формуле $\Phi = B S \cos{\alpha}$, где $S$ - площадь контура, а $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости контура. По условию, линии индукции перпендикулярны плоскости рамки, поэтому $\alpha = 0$ и $\cos{\alpha} = 1$.

Начальный магнитный поток через квадратную рамку с площадью $S_1 = l^2$:
$\Phi_1 = B S_1 = B l^2$

Конечный магнитный поток через рамку в форме ромба с площадью $S_2 = S_p = 0,40l^2$:
$\Phi_2 = B S_2 = B \cdot 0,40 l^2$

Модуль изменения магнитного потока:
$|\Delta \Phi| = |\Phi_2 - \Phi_1| = |B \cdot 0,40 l^2 - B l^2| = |-0,60 B l^2| = 0,60 B l^2$

Сопротивление $R$ проволочной рамки найдем по формуле:
$R = \rho \frac{L}{S_c}$
где $L$ - длина проволоки, равная периметру рамки $L = 4l$.
$R = \rho \frac{4l}{S_c}$

Подставим выражения для $|\Delta \Phi|$ и $R$ в формулу для заряда $\Delta q$:
$\Delta q = \frac{0,60 B l^2}{\rho \frac{4l}{S_c}} = \frac{0,60 B l S_c}{4 \rho} = \frac{0,15 B l S_c}{\rho}$

Произведем вычисления:
$\Delta q = \frac{0,15 \cdot (54 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}) \cdot (0,20 \text{ м}) \cdot (8,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2)}{2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{12,96 \cdot 10^{-9}}{2,8 \cdot 10^{-8}} \text{ Кл} \approx 0,4628 \text{ Кл}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные приведены с такой точностью.
$\Delta q \approx 0,46$ Кл.

Ответ: модуль заряда, прошедшего по проволоке, равен 0,46 Кл.