Номер 1144, страница 261 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1144. Тонкий изолированный медный провод массой $m = 1,2 \text{ г}$ согнут в виде квадрата и помещен в однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 20 \text{ мТл}$. Линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости, ограниченной кольцом. Определите модуль заряда, который пройдет по проводу, если квадрат потянуть за две диагонально расположенные вершины так, что он превратится в прямую линию.

Дано:

Масса медного провода, $m = 1,2 \text{ г}$
Модуль индукции магнитного поля, $B = 20 \text{ мТл}$
Плотность меди, $D = 8960 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Удельное сопротивление меди, $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Перевод в систему СИ:

$m = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$B = 20 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0,02 \text{ Тл}$

Найти:

$q$ - ?

Решение:

При изменении формы контура с квадрата на прямую линию меняется площадь, которую он охватывает, а следовательно, и магнитный поток через эту площадь. Изменение магнитного потока вызывает появление индукционной ЭДС в контуре согласно закону Фарадея:
$E_i = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$
где $\Delta \Phi$ - изменение магнитного потока за время $\Delta t$.
Эта ЭДС создает в проводе индукционный ток $I$, который по закону Ома для замкнутой цепи равен:
$I = \frac{|E_i|}{R} = \frac{1}{R} \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t}$
где $R$ - сопротивление провода.
Заряд $q$, прошедший по проводу за время $\Delta t$, связан с силой тока соотношением $q = I \Delta t$. Подставив выражение для тока, получим:
$q = \frac{1}{R} \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t} \Delta t = \frac{|\Delta \Phi|}{R}$
Магнитный поток $\Phi$ через контур определяется как $\Phi = B S \cos \alpha$, где $S$ - площадь контура, а $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $B$ и нормалью к плоскости контура. По условию, линии индукции перпендикулярны плоскости, значит $\alpha=0$ и $\cos \alpha = 1$.
Начальный магнитный поток, когда провод имеет форму квадрата со стороной $a$ и площадью $S_1 = a^2$:
$\Phi_1 = B S_1 = B a^2$
Конечный магнитный поток, когда провод превращается в прямую линию, равен нулю, так как площадь, охватываемая контуром, становится равной нулю ($S_2 = 0$):
$\Phi_2 = 0$
Изменение магнитного потока:
$|\Delta \Phi| = |\Phi_2 - \Phi_1| = |0 - B a^2| = B a^2$
Таким образом, формула для заряда принимает вид:
$q = \frac{B a^2}{R}$
Теперь выразим сторону квадрата $a$ и сопротивление $R$ через массу провода $m$ и его физические свойства. Пусть $L$ - общая длина провода, а $S_{сеч}$ - площадь его поперечного сечения.
Длина провода равна периметру квадрата: $L = 4a$, откуда $a = \frac{L}{4}$.
Сопротивление провода: $R = \rho \frac{L}{S_{сеч}}$.
Масса провода: $m = D V = D L S_{сеч}$, где $D$ - плотность меди, $V$ - объем провода. Из этого выражения можно найти произведение $L S_{сеч} = \frac{m}{D}$.
Подставим выражения для $a$ и $R$ в формулу для заряда:
$q = \frac{B (L/4)^2}{\rho L / S_{сеч}} = \frac{B L^2 / 16}{\rho L / S_{сеч}} = \frac{B L^2 S_{сеч}}{16 \rho L} = \frac{B (L S_{сеч})}{16 \rho}$
Теперь заменим произведение $L S_{сеч}$ на $\frac{m}{D}$:
$q = \frac{B (m/D)}{16 \rho} = \frac{B m}{16 \rho D}$
Подставим числовые значения в итоговую формулу:
$q = \frac{0,02 \cdot 1,2 \cdot 10^{-3}}{16 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \cdot 8960} = \frac{2,4 \cdot 10^{-5}}{243712 \cdot 10^{-8}} = \frac{2,4 \cdot 10^{-5}}{2,437 \cdot 10^{-3}} \approx 0,985 \cdot 10^{-2} \text{ Кл}$
$q \approx 9,8 \cdot 10^{-3} \text{ Кл} = 9,8 \text{ мКл}$

Ответ: $q \approx 9,8 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$.