Номер 1151, страница 263 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1151. Замкнутая катушка, состоящая из $N = 100$ витков проволоки, помещена в однородное магнитное поле, вектор индукции которого параллелен оси катушки. Площадь плоской поверхности, ограниченной каждым витком, $S = 10 \text{ см}^2$. За время $\Delta t = 0,1 \text{ с}$, в течение которого модуль индукции магнитного поля равномерно уменьшился от $B_1 = 0,24 \text{ Тл}$ до $B_2 = 0,14 \text{ Тл}$, в проволоке выделилось количество теплоты $Q = 1 \text{ мДж}$. Определите сопротивление проволоки.

Дано:

$N = 100$

$S = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-3} \text{ м}^2$

$\Delta t = 0,1 \text{ с}$

$B_1 = 0,24 \text{ Тл}$

$B_2 = 0,14 \text{ Тл}$

$Q = 1 \text{ мДж} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Найти:

$R$ - ?

Решение:

При изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутую катушку, в ней возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, модуль ЭДС индукции равен скорости изменения магнитного потока:

$|\mathcal{E}| = \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|$

Магнитный поток $\Phi$ через катушку, состоящую из $N$ витков, площадью $S$ каждый, в однородном магнитном поле с индукцией $B$ определяется как:

$\Phi = N \cdot B \cdot S \cdot \cos{\alpha}$

По условию задачи, вектор магнитной индукции параллелен оси катушки, следовательно, угол $\alpha$ между вектором индукции и нормалью к плоскости витка равен 0, и $\cos{\alpha} = 1$. Тогда $\Phi = N \cdot B \cdot S$.

Изменение магнитного потока за время $\Delta t$ составляет:

$\Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = N \cdot B_2 \cdot S - N \cdot B_1 \cdot S = N \cdot S \cdot (B_2 - B_1)$

Тогда модуль ЭДС индукции равен:

$|\mathcal{E}| = \frac{|N \cdot S \cdot (B_2 - B_1)|}{\Delta t} = \frac{N \cdot S \cdot (B_1 - B_2)}{\Delta t}$

Эта ЭДС создает в замкнутом контуре (катушке) индукционный ток $I$. По закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{|\mathcal{E}|}{R}$

где $R$ — искомое сопротивление проволоки.

Количество теплоты $Q$, выделившееся в проволоке за время $\Delta t$ при протекании тока $I$, определяется законом Джоуля-Ленца:

$Q = I^2 \cdot R \cdot \Delta t$

Подставим в эту формулу выражение для силы тока:

$Q = \left(\frac{|\mathcal{E}|}{R}\right)^2 \cdot R \cdot \Delta t = \frac{|\mathcal{E}|^2}{R^2} \cdot R \cdot \Delta t = \frac{|\mathcal{E}|^2 \cdot \Delta t}{R}$

Выразим из полученного уравнения сопротивление $R$:

$R = \frac{|\mathcal{E}|^2 \cdot \Delta t}{Q}$

Теперь подставим в это выражение формулу для ЭДС индукции:

$R = \frac{\left(\frac{N \cdot S \cdot (B_1 - B_2)}{\Delta t}\right)^2 \cdot \Delta t}{Q} = \frac{N^2 \cdot S^2 \cdot (B_1 - B_2)^2}{(\Delta t)^2} \cdot \frac{\Delta t}{Q} = \frac{N^2 \cdot S^2 \cdot (B_1 - B_2)^2}{Q \cdot \Delta t}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$R = \frac{100^2 \cdot (10^{-3})^2 \cdot (0,24 - 0,14)^2}{1 \cdot 10^{-3} \cdot 0,1} = \frac{10^4 \cdot 10^{-6} \cdot (0,1)^2}{10^{-4}} = \frac{10^{-2} \cdot 10^{-2}}{10^{-4}} = \frac{10^{-4}}{10^{-4}} = 1 \text{ Ом}$

Ответ: сопротивление проволоки равно $1 \text{ Ом}$.