Номер 1155, страница 264 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1155. Проволочное кольцо диаметром $d$ и сопротивлением $R$ помещено в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости кольца. На рисунке 276 представлен график зависимости модуля индукции магнитного поля от времени. Определите количество теплоты, выделившееся в кольце за все время изменения индукции магнитного поля.

Надписи на графике: $B$, $B_0$, $0$, $t_1$, $t_2$, $t$.

Рис. 276

Дано:
Проволочное кольцо
Диаметр кольца: $d$
Сопротивление кольца: $R$
График зависимости индукции магнитного поля от времени $B(t)$ (Рис. 276)
Линии индукции перпендикулярны плоскости кольца.

Найти:
Количество теплоты $Q$.

Решение:
Общее количество теплоты $Q$, выделившееся в кольце за все время изменения индукции магнитного поля (от $0$ до $t_2$), равно сумме количеств теплоты, выделившихся на двух участках: $Q_1$ на интервале времени от $0$ до $t_1$ и $Q_2$ на интервале от $t_1$ до $t_2$.
$Q = Q_1 + Q_2$
Количество теплоты, выделяющееся в проводнике с сопротивлением $R$ при протекании по нему тока $I$ в течение времени $Δt$, определяется законом Джоуля-Ленца: $Q = I^2 R Δt$. Сила индукционного тока $I$ определяется по закону Ома для замкнутой цепи: $I = \frac{ε_i}{R}$, где $ε_i$ – ЭДС индукции. ЭДС индукции, возникающая в контуре, по закону Фарадея равна по модулю скорости изменения магнитного потока через этот контур: $ε_i = |-\frac{ΔΦ}{Δt}|$.
Магнитный поток $Φ$ через кольцо площадью $S$ равен $Φ = B \cdot S$, так как поле перпендикулярно плоскости кольца. Площадь кольца $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
Тогда ЭДС индукции можно выразить как $ε_i = S |\frac{ΔB}{Δt}|$.
Объединив формулы, получим выражение для количества теплоты:
$Q = (\frac{ε_i}{R})^2 R Δt = \frac{ε_i^2}{R} Δt = \frac{(S \frac{ΔB}{Δt})^2}{R} Δt = \frac{S^2}{R} (\frac{ΔB}{Δt})^2 Δt$.

1. Расчет для интервала от $0$ до $t_1$:
Из графика видно, что индукция поля линейно возрастает от $0$ до $B_0$ за время $t_1$. Скорость изменения индукции постоянна и равна:
$\frac{ΔB_1}{Δt_1} = \frac{B_0 - 0}{t_1 - 0} = \frac{B_0}{t_1}$
Количество теплоты $Q_1$, выделившееся за время $Δt_1 = t_1$:
$Q_1 = \frac{S^2}{R} (\frac{B_0}{t_1})^2 t_1 = \frac{(\frac{\pi d^2}{4})^2}{R} \frac{B_0^2}{t_1^2} t_1 = \frac{\pi^2 d^4 B_0^2}{16 R t_1}$

2. Расчет для интервала от $t_1$ до $t_2$:
На этом интервале индукция поля линейно убывает от $B_0$ до $0$ за время $Δt_2 = t_2 - t_1$. Модуль скорости изменения индукции постоянен и равен:
$|\frac{ΔB_2}{Δt_2}| = |\frac{0 - B_0}{t_2 - t_1}| = \frac{B_0}{t_2 - t_1}$
Количество теплоты $Q_2$, выделившееся за время $Δt_2 = t_2 - t_1$:
$Q_2 = \frac{S^2}{R} (\frac{B_0}{t_2 - t_1})^2 (t_2 - t_1) = \frac{(\frac{\pi d^2}{4})^2}{R} \frac{B_0^2}{(t_2 - t_1)^2} (t_2 - t_1) = \frac{\pi^2 d^4 B_0^2}{16 R (t_2 - t_1)}$

3. Общее количество теплоты:
Суммируем $Q_1$ и $Q_2$:
$Q = Q_1 + Q_2 = \frac{\pi^2 d^4 B_0^2}{16 R t_1} + \frac{\pi^2 d^4 B_0^2}{16 R (t_2 - t_1)}$
Вынесем общий множитель $\frac{\pi^2 d^4 B_0^2}{16 R}$ за скобки:
$Q = \frac{\pi^2 d^4 B_0^2}{16 R} \left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2 - t_1}\right)$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$Q = \frac{\pi^2 d^4 B_0^2}{16 R} \left(\frac{t_2 - t_1 + t_1}{t_1(t_2 - t_1)}\right) = \frac{\pi^2 d^4 B_0^2}{16 R} \frac{t_2}{t_1(t_2 - t_1)}$

Ответ: Количество теплоты, выделившееся в кольце, равно $Q = \frac{\pi^2 d^4 B_0^2 t_2}{16 R t_1 (t_2 - t_1)}$.