Номер 1156, страница 264 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1156. Соленоид, содержащий $N = 800$ витков проволоки, радиус поперечного сечения которой $r = 1,0 \text{ мм}$, находится в однородном магнитном поле. Концы проволоки замкнуты между собой. Вектор индукции магнитного поля параллелен оси соленоида. Модуль индукции равномерно убывает от $B_1 = 0,40 \text{ Тл}$ до нуля за время $\tau = 2,0 \text{ мс}$. Диаметр каждого витка соленоида $D = 4,0 \text{ см}$. Удельное сопротивление материала проволоки $\rho = 5,0 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{ м}$, удельная теплоемкость материала проволоки $c = 250 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}$, масса проволоки $m = 128 \text{ г}$. Определите изменение температуры проволоки за время убывания магнитного поля. Потерями энергии пренебречь.

Дано:

$N = 800$

$r = 1,0 \text{ мм} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$D = 4,0 \text{ см} = 4,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$B_1 = 0,40 \text{ Тл}$

$B_2 = 0 \text{ Тл}$

$\tau = 2,0 \text{ мс} = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ с}$

$\rho = 5,0 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$c = 250 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

$m = 128 \text{ г} = 0,128 \text{ кг}$

Найти:

$\Delta T$

Решение:

При изменении магнитного потока, пронизывающего соленоид, в нем возникает ЭДС индукции, которая определяется законом Фарадея:

$|\mathcal{E}| = N \left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|$

где $N$ – число витков, $\Delta\Phi$ – изменение магнитного потока через один виток, $\Delta t = \tau$ – время изменения потока.

Магнитный поток через один виток равен $\Phi = B \cdot S$, где $S$ – площадь поперечного сечения витка. Так как вектор индукции параллелен оси соленоида, угол между вектором индукции и нормалью к плоскости витка равен нулю.

Площадь одного витка соленоида: $S = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$.

Изменение магнитного потока за время $\tau$ равно:

$\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = B_2 \cdot S - B_1 \cdot S = (0 - B_1)S = -B_1 S$.

Тогда модуль ЭДС индукции:

$|\mathcal{E}| = N \frac{|-B_1 S|}{\tau} = \frac{N B_1 S}{\tau} = \frac{N B_1 \pi D^2}{4\tau}$.

Эта ЭДС создает в замкнутой обмотке соленоида индукционный ток. Согласно закону Ома для замкнутой цепи, сила тока равна $I = \frac{|\mathcal{E}|}{R}$, где $R$ – сопротивление проволоки соленоида.

Сопротивление проволоки можно рассчитать по формуле $R = \rho \frac{L}{S_{пр}}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $L$ – длина проволоки, $S_{пр}$ – площадь поперечного сечения проволоки.

Длина одного витка равна $l_1 = \pi D$. Общая длина проволоки: $L = N \cdot l_1 = N \pi D$.

Площадь поперечного сечения проволоки: $S_{пр} = \pi r^2$.

Тогда сопротивление соленоида:

$R = \rho \frac{N \pi D}{\pi r^2} = \frac{\rho N D}{r^2}$.

При протекании индукционного тока в проволоке за время $\tau$ выделяется количество теплоты $Q$ по закону Джоуля-Ленца:

$Q = I^2 R \tau = \left(\frac{|\mathcal{E}|}{R}\right)^2 R \tau = \frac{|\mathcal{E}|^2}{R} \tau$.

По условию, потерями энергии можно пренебречь. Это означает, что вся выделившаяся теплота идет на нагревание проволоки. Количество теплоты, необходимое для нагревания проволоки массой $m$ на температуру $\Delta T$, равно:

$Q = c m \Delta T$.

Приравняем два выражения для $Q$ и выразим $\Delta T$:

$c m \Delta T = \frac{|\mathcal{E}|^2}{R} \tau \implies \Delta T = \frac{|\mathcal{E}|^2 \tau}{c m R}$.

Произведем вычисления. Рассчитаем величины по отдельности для удобства:

ЭДС индукции: $|\mathcal{E}| = \frac{800 \cdot 0,40 \cdot \pi \cdot (4,0 \cdot 10^{-2})^2}{4 \cdot 2,0 \cdot 10^{-3}} = \frac{320 \cdot \pi \cdot 16 \cdot 10^{-4}}{8 \cdot 10^{-3}} = 640\pi \cdot 10^{-1} = 64\pi \text{ В}$.

Сопротивление: $R = \frac{5,0 \cdot 10^{-8} \cdot 800 \cdot 4,0 \cdot 10^{-2}}{(1,0 \cdot 10^{-3})^2} = \frac{16000 \cdot 10^{-10}}{10^{-6}} = 1,6 \text{ Ом}$.

Количество теплоты: $Q = \frac{|\mathcal{E}|^2}{R} \tau = \frac{(64\pi)^2}{1,6} \cdot 2,0 \cdot 10^{-3} = \frac{4096 \pi^2}{1,6} \cdot 2,0 \cdot 10^{-3} = 2560 \pi^2 \cdot 2,0 \cdot 10^{-3} = 5,12 \pi^2 \text{ Дж}$.

Изменение температуры:

$\Delta T = \frac{Q}{c m} = \frac{5,12 \pi^2}{250 \cdot 0,128} = \frac{5,12 \pi^2}{32} = 0,16 \pi^2 \text{ К}$.

Принимая $\pi^2 \approx 9,87$, получаем:

$\Delta T \approx 0,16 \cdot 9,87 \approx 1,58 \text{ К}$.

Ответ: изменение температуры проволоки составит $\Delta T = 0,16 \pi^2 \text{ К} \approx 1,58 \text{ К}$.