Номер 1152, страница 263 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1152. Из проволоки сопротивлением $R = 0,2 \text{ Ом}$ и длиной $l = 0,5 \text{ м}$ изготовили кольцо и поместили его в однородное магнитное поле, модуль индукции которого изменяется со временем по закону: $B(t) = At$, где $A = 0,1 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$. Определите мощность, выделяющуюся в проволоке, если плоскость кольца перпендикулярна линиям индукции магнитного поля.

Дано:

$R = 0,2$ Ом

$l = 0,5$ м

$B(t) = At$

$A = 0,1$ Тл/с

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

$P$

Решение:

Изменение магнитного потока через кольцо из проволоки приводит к возникновению электродвижущей силы (ЭДС) индукции, согласно закону Фарадея. Эта ЭДС создает в кольце индукционный ток, который, протекая по проволоке, выделяет тепло. Мощность этого тепловыделения можно найти по закону Джоуля-Ленца.

1. Найдем площадь кольца $S$. Длина проволоки $l$ равна длине окружности кольца: $l = 2\pi r$, где $r$ – радиус кольца. Отсюда радиус равен $r = \frac{l}{2\pi}$.

Площадь круга (кольца) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим выражение для радиуса:

$S = \pi \left(\frac{l}{2\pi}\right)^2 = \pi \frac{l^2}{4\pi^2} = \frac{l^2}{4\pi}$

2. Определим магнитный поток $\Phi$ через кольцо. Так как плоскость кольца перпендикулярна линиям индукции магнитного поля, то угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости кольца равен нулю, и $\cos(0) = 1$.

Магнитный поток равен: $\Phi(t) = B(t) \cdot S = AtS$.

3. Найдем ЭДС индукции $\mathcal{E}$, возникающую в кольце, по закону электромагнитной индукции Фарадея:

$\mathcal{E} = \left|-\frac{d\Phi}{dt}\right| = \left|-\frac{d(AtS)}{dt}\right|$

Поскольку $A$ и $S$ являются постоянными величинами, производная от времени равна единице:

$\mathcal{E} = A \cdot S$

Подставим сюда выражение для площади $S$:

$\mathcal{E} = A \frac{l^2}{4\pi}$

4. Мощность $P$, выделяющаяся в проволоке, определяется по закону Джоуля-Ленца. Для цепи с ЭДС $\mathcal{E}$ и сопротивлением $R$ она равна:

$P = \frac{\mathcal{E}^2}{R}$

Подставим выражение для ЭДС в формулу мощности:

$P = \frac{\left(A \frac{l^2}{4\pi}\right)^2}{R} = \frac{A^2 l^4}{16\pi^2 R}$

5. Выполним численный расчет, подставив известные значения:

$P = \frac{(0,1 \text{ Тл/с})^2 \cdot (0,5 \text{ м})^4}{16\pi^2 \cdot 0,2 \text{ Ом}} = \frac{0,01 \cdot 0,0625}{3,2\pi^2} = \frac{0,000625}{3,2\pi^2}$ Вт

Используя $\pi \approx 3,14159$, получаем:

$P \approx \frac{0,000625}{3,2 \cdot (3,14159)^2} \approx \frac{0,000625}{31,58} \approx 1,98 \cdot 10^{-5}$ Вт

Мощность также можно выразить в микроваттах: $1,98 \cdot 10^{-5}$ Вт = $19,8$ мкВт.

Ответ: $P \approx 1,98 \cdot 10^{-5}$ Вт.