Номер 1157, страница 264 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1157. Проволочный контур в форме квадрата со стороной $a = 5,0 \text{ см}$ помещен в однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 0,80 \text{ Тл}$. Линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости квадрата.

Сопротивление единицы длины проволоки $\mu = 0,40 \frac{\text{мОм}}{\text{м}}$.

Масса проволоки $m = 8 \text{ г}$. Удельная теплоемкость вещества проволоки $c = 120 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$. Определите изменение температуры проволоки, если контур за время $\tau = 0,2 \text{ с}$ повернуть на угол $\theta = 180^{\circ}$ так, что магнитный поток через контур будет изменяться равномерно. Потерями тепловой энергии пренебречь.

Дано:

$a = 5,0 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$

$B = 0,80 \text{ Тл}$

$\mu = 0,40 \frac{\text{мОм}}{\text{м}} = 0,40 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Ом}}{\text{м}}$

$m = 8 \text{ г} = 8 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$c = 120 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

$\tau = 0,2 \text{ с}$

$\theta = 180^\circ$

Найти:

$\Delta T$

Решение:

При повороте проволочного контура в магнитном поле изменяется магнитный поток, пронизывающий контур. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, в контуре возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$, модуль которой равен скорости изменения магнитного потока:

$\mathcal{E}_i = \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|$

Поскольку по условию магнитный поток изменяется равномерно, то скорость его изменения постоянна, и можно записать $\Delta t = \tau$.

Магнитный поток $\Phi$ через контур площадью $S$ определяется формулой:

$\Phi = B S \cos \alpha$

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости контура $\vec{n}$.

В начальный момент времени линии индукции перпендикулярны плоскости квадрата, то есть угол $\alpha_1 = 0^\circ$. Начальный магнитный поток:

$\Phi_1 = B S \cos 0^\circ = B S$

Площадь квадратного контура $S = a^2$, следовательно:

$\Phi_1 = B a^2$

После поворота контура на угол $\theta = 180^\circ$ угол между вектором $\vec{B}$ и нормалью станет $\alpha_2 = 180^\circ$. Конечный магнитный поток:

$\Phi_2 = B S \cos 180^\circ = -B S = -B a^2$

Изменение магнитного потока за время $\tau$ равно:

$\Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = -B a^2 - B a^2 = -2 B a^2$

Тогда модуль ЭДС индукции, возникающей в контуре, равен:

$\mathcal{E}_i = \left| \frac{\Delta \Phi}{\tau} \right| = \left| \frac{-2 B a^2}{\tau} \right| = \frac{2 B a^2}{\tau}$

Под действием этой ЭДС в контуре протекает индукционный ток $I$. Сопротивление контура $R$ можно найти, зная сопротивление единицы длины провода $\mu$ и периметр квадрата $L = 4a$:

$R = \mu L = 4 \mu a$

При протекании тока по проводнику в нем выделяется количество теплоты $Q$, которое можно рассчитать по закону Джоуля-Ленца. Мощность тока $P = \frac{\mathcal{E}_i^2}{R}$, а количество теплоты $Q = P \tau$.

$Q = \frac{\mathcal{E}_i^2}{R} \tau = \frac{\left( \frac{2 B a^2}{\tau} \right)^2}{4 \mu a} \tau = \frac{4 B^2 a^4}{\tau^2 \cdot 4 \mu a} \tau = \frac{B^2 a^3}{\mu \tau}$

По условию, потерями тепловой энергии можно пренебречь, поэтому вся выделившаяся теплота идет на нагревание проволоки. Количество теплоты, необходимое для нагревания проволоки массой $m$ на температуру $\Delta T$, равно:

$Q = c m \Delta T$

Приравнивая два выражения для $Q$, получаем:

$c m \Delta T = \frac{B^2 a^3}{\mu \tau}$

Отсюда выразим искомое изменение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{B^2 a^3}{c m \mu \tau}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$\Delta T = \frac{(0,80)^2 \cdot (0,05)^3}{120 \cdot (8 \cdot 10^{-3}) \cdot (0,40 \cdot 10^{-3}) \cdot 0,2} = \frac{0,64 \cdot 0,000125}{120 \cdot 8 \cdot 10^{-3} \cdot 0,40 \cdot 10^{-3} \cdot 0,2} = \frac{8 \cdot 10^{-5}}{0,96 \cdot 8 \cdot 10^{-5}} = \frac{8 \cdot 10^{-5}}{7,68 \cdot 10^{-5}} \approx 1,0417 \text{ К}$

С учетом точности исходных данных (две значащие цифры), округляем результат.

Ответ: $\Delta T \approx 1,0 \text{ К}$