Номер 1158, страница 265 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1158. В однородном магнитном поле находится катушка, состоящая из $N = 1000$ одинаковых проволочных витков квадратной формы. За промежуток времени $\Delta t = 0,1 \text{ с}$ модуль индукции магнитного поля, линии индукции которого перпендикулярны плоскости витков, изменяется на $\Delta B = 0,02 \text{ Тл}$. В результате чего в проволоке за этот промежуток времени выделяется $Q = 0,05 \text{ Дж}$ теплоты. Площадь поперечного сечения проволоки $S_0 = 1 \text{ мм}^2$. Удельное сопротивление вещества проволоки $\rho = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{ м}$. Определите длину стороны каждого витка.

Дано:

Число витков, $N = 1000$
Промежуток времени, $\Delta t = 0,1$ с
Изменение индукции магнитного поля, $\Delta B = 0,02$ Тл
Выделившееся количество теплоты, $Q = 0,05$ Дж
Площадь поперечного сечения проволоки, $S_0 = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
Удельное сопротивление проволоки, $\rho = 2 \cdot 10^{-8}$ Ом·м

Найти:

Длину стороны витка, $a$ - ?

Решение:

При изменении магнитного потока через катушку в ней возникает ЭДС индукции, которая по закону Фарадея для катушки с $N$ витками равна:

$\mathcal{E}_{i} = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$

Магнитный поток $\Phi$ через один виток равен $\Phi = B S \cos \alpha$, где $S$ - площадь витка, а $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости витка. По условию, линии индукции перпендикулярны плоскости витков, значит $\alpha = 0$ и $\cos \alpha = 1$. Площадь одного квадратного витка со стороной $a$ равна $S = a^2$.

Тогда изменение магнитного потока через один виток составляет:

$\Delta \Phi = \Delta B \cdot S = \Delta B \cdot a^2$

Модуль ЭДС индукции в катушке:

$|\mathcal{E}_{i}| = N \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t} = \frac{N a^2 \Delta B}{\Delta t}$

Возникшая ЭДС создает в катушке индукционный ток $I$. По закону Ома для замкнутой цепи:

$I = \frac{|\mathcal{E}_{i}|}{R}$

где $R$ - полное сопротивление проволоки катушки.

Количество теплоты, выделившееся в проволоке за время $\Delta t$, определяется законом Джоуля-Ленца:

$Q = I^2 R \Delta t = \left(\frac{|\mathcal{E}_{i}|}{R}\right)^2 R \Delta t = \frac{|\mathcal{E}_{i}|^2}{R} \Delta t$

Сопротивление $R$ всей проволоки можно найти по формуле $R = \rho \frac{L}{S_0}$, где $L$ - общая длина проволоки, $S_0$ - площадь ее поперечного сечения. Длина одного витка (периметр квадрата) равна $4a$. Общая длина проволоки для $N$ витков: $L = 4aN$. Тогда сопротивление катушки:

$R = \frac{4 \rho a N}{S_0}$

Подставим выражения для $|\mathcal{E}_{i}|$ и $R$ в формулу для количества теплоты:

$Q = \frac{\left(\frac{N a^2 \Delta B}{\Delta t}\right)^2}{\frac{4 \rho a N}{S_0}} \Delta t = \frac{N^2 a^4 (\Delta B)^2 S_0}{(\Delta t)^2 \cdot 4 \rho a N} \Delta t = \frac{N a^3 (\Delta B)^2 S_0}{4 \rho \Delta t}$

Выразим из этой формулы $a^3$:

$a^3 = \frac{4 Q \rho \Delta t}{N (\Delta B)^2 S_0}$

Отсюда находим сторону витка $a$:

$a = \sqrt[3]{\frac{4 Q \rho \Delta t}{N (\Delta B)^2 S_0}}$

Подставим числовые значения:

$a = \sqrt[3]{\frac{4 \cdot 0,05 \text{ Дж} \cdot 2 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 0,1 \text{ с}}{1000 \cdot (0,02 \text{ Тл})^2 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}} = \sqrt[3]{\frac{0,2 \cdot 2 \cdot 10^{-8} \cdot 0,1}{1000 \cdot 0,0004 \cdot 10^{-6}}} \text{ м} = \sqrt[3]{\frac{0,4 \cdot 10^{-9}}{0,4 \cdot 10^{-6}}} \text{ м} = \sqrt[3]{10^{-3}} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$

Ответ: длина стороны каждого витка равна 0,1 м или 10 см.