Номер 1160, страница 265 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1160. Квадратная проволочная рамка со стороной $a = 20 \text{ мм}$ пересекает с постоянной скоростью, модуль которой $v = 10 \frac{\text{см}}{\text{с}}$, область однородного магнитного поля (рис. 278), модуль индукции которого $B = 1,0 \text{ Тл}$.

Рис. 278

Ширина поля $l = 10 \text{ см}$. Сопротивление проволоки $R = 20 \text{ мОм}$. Постройте график зависимости ЭДС индукции, возникающей в рамке, от времени ее движения в магнитном поле. Определите количество теплоты, выделяющееся в проволоке за время пересечения рамкой области магнитного поля. Линии индукции перпендикулярны плоскости рамки.

Дано:

$a = 20 \text{ мм}$
$v = 10 \frac{\text{см}}{\text{с}}$
$B = 1.0 \text{ Тл}$
$l = 10 \text{ см}$
$R = 20 \text{ мОм}$

Перевод в систему СИ:

$a = 0.02 \text{ м}$
$v = 0.1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$l = 0.1 \text{ м}$
$R = 20 \cdot 10^{-3} \text{ Ом} = 0.02 \text{ Ом}$

Найти:

1. График зависимости $\mathcal{E}_i(t)$.
2. $Q$ - количество теплоты.

Решение:

Движение рамки можно разделить на три этапа: вхождение в магнитное поле, движение внутри поля и выход из поля.

Постройте график зависимости ЭДС индукции, возникающей в рамке, от времени ее движения в магнитном поле.

1. Этап вхождения рамки в магнитное поле.
Этот этап продолжается, пока рамка полностью не войдет в поле. Время, необходимое для этого:

$t_1 = \frac{a}{v} = \frac{0.02 \text{ м}}{0.1 \text{ м/с}} = 0.2 \text{ с}$

На этом этапе магнитный поток через рамку увеличивается, что приводит к возникновению ЭДС индукции. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, модуль ЭДС равен:

$|\mathcal{E}_{i1}| = B \cdot a \cdot v$

$|\mathcal{E}_{i1}| = 1.0 \text{ Тл} \cdot 0.02 \text{ м} \cdot 0.1 \text{ м/с} = 0.002 \text{ В} = 2 \text{ мВ}$

По правилу Ленца, индукционный ток будет направлен так, чтобы своим магнитным полем противодействовать увеличению внешнего магнитного потока. В данном случае ток будет течь против часовой стрелки. Примем это направление ЭДС за отрицательное. Таким образом, на интервале времени $0 \le t \le 0.2 \text{ с}$, ЭДС постоянна и равна $\mathcal{E}_{i1} = -2 \text{ мВ}$.

2. Этап движения рамки полностью внутри магнитного поля.
Этот этап начинается, когда рамка полностью вошла в поле ($t = 0.2 \text{ с}$), и заканчивается, когда передний край рамки достигает границы поля ($t_2$). Расстояние, которое проходит рамка на этом этапе, равно $l - a$.

$t_2 = \frac{l}{v} = \frac{0.1 \text{ м}}{0.1 \text{ м/с}} = 1.0 \text{ с}$

На этом этапе магнитный поток через рамку постоянен, так как и поле $B$, и площадь рамки $a^2$ внутри поля не меняются. Следовательно, ЭДС индукции равна нулю.

$\mathcal{E}_{i2} = 0$ на интервале времени $0.2 \text{ с} < t \le 1.0 \text{ с}$.

3. Этап выхода рамки из магнитного поля.
Этот этап начинается в момент $t_2 = 1.0 \text{ с}$ и длится, пока рамка полностью не выйдет из поля. Продолжительность этого этапа, как и первого, равна:

$\Delta t_3 = \frac{a}{v} = 0.2 \text{ с}$

Полное время движения до выхода из поля: $t_3 = t_2 + \Delta t_3 = 1.0 \text{ с} + 0.2 \text{ с} = 1.2 \text{ с}$.

На этом этапе магнитный поток через рамку уменьшается. Модуль возникающей ЭДС индукции такой же, как и на первом этапе:

$|\mathcal{E}_{i3}| = B \cdot a \cdot v = 2 \text{ мВ}$

Однако по правилу Ленца, индукционный ток теперь будет направлен по часовой стрелке, чтобы поддержать уменьшающийся магнитный поток. ЭДС будет иметь противоположный знак. Таким образом, на интервале времени $1.0 \text{ с} < t \le 1.2 \text{ с}$, ЭДС постоянна и равна $\mathcal{E}_{i3} = +2 \text{ мВ}$.

График зависимости $\mathcal{E}_i(t)$ имеет следующий вид:
- от $t = 0$ до $t = 0.2 \text{ с}$ – горизонтальная линия на уровне $\mathcal{E}_i = -2 \text{ мВ}$.
- от $t = 0.2 \text{ с}$ до $t = 1.0 \text{ с}$ – горизонтальная линия на уровне $\mathcal{E}_i = 0 \text{ мВ}$.
- от $t = 1.0 \text{ с}$ до $t = 1.2 \text{ с}$ – горизонтальная линия на уровне $\mathcal{E}_i = +2 \text{ мВ}$.

Ответ: График представляет собой два прямоугольных импульса: первый отрицательный, амплитудой $2 \text{ мВ}$ и длительностью $0.2 \text{ с}$; второй положительный, амплитудой $2 \text{ мВ}$ и длительностью $0.2 \text{ с}$, разделенные нулевым значением ЭДС на интервале времени от $0.2 \text{ с}$ до $1.0 \text{ с}$.

Определите количество теплоты, выделяющееся в проволоке за время пересечения рамкой области магнитного поля.

Количество теплоты выделяется только тогда, когда в рамке течет индукционный ток, то есть на этапах вхождения и выхода из поля. Мощность тепловых потерь определяется по закону Джоуля-Ленца:

$P = \frac{\mathcal{E}_i^2}{R}$

Количество теплоты $Q$ равно произведению мощности на время.

1. Теплота при вхождении в поле ($Q_1$):

$Q_1 = P_1 \cdot t_1 = \frac{\mathcal{E}_{i1}^2}{R} \cdot t_1 = \frac{(0.002 \text{ В})^2}{0.02 \text{ Ом}} \cdot 0.2 \text{ с} = \frac{4 \cdot 10^{-6} \text{ В}^2}{0.02 \text{ Ом}} \cdot 0.2 \text{ с} = 2 \cdot 10^{-4} \text{ Вт} \cdot 0.2 \text{ с} = 0.4 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} = 4 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

2. Теплота при выходе из поля ($Q_3$):

Поскольку модуль ЭДС и длительность этого этапа такие же, как и на первом, количество выделившейся теплоты будет таким же:

$Q_3 = \frac{\mathcal{E}_{i3}^2}{R} \cdot \Delta t_3 = \frac{(0.002 \text{ В})^2}{0.02 \text{ Ом}} \cdot 0.2 \text{ с} = 4 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

3. Общее количество теплоты:

Общее количество теплоты, выделившееся за все время движения, равно сумме теплоты, выделившейся на каждом этапе.

$Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 4 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} + 0 + 4 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} = 8 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

$Q = 80 \text{ мкДж}$

Ответ: $Q = 8 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$ (или $80 \text{ мкДж}$).