Номер 1149, страница 262 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1149. Соленоид, содержащий $N = 1000$ витков медной проволоки, площадь поперечного сечения которой $S = 0,20 \text{ мм}^2$, находится в однородном магнитном поле. Концы проволоки замкнуты между собой. Вектор индукции магнитного поля параллелен оси соленоида. Диаметр каждого витка соленоида $D = 5,0 \text{ см}$. Определите тепловую мощность, выделяющуюся в проволоке, если модуль индукции магнитного поля убывает со скоростью

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = -10 \frac{\text{мТл}}{\text{с}}$

Количество витков соленоида $N = 1000$
Площадь поперечного сечения медной проволоки $S = 0,20 \text{ мм}^2$
Диаметр витка соленоида $D = 5,0 \text{ см}$
Скорость убывания модуля индукции магнитного поля $\frac{\Delta B}{\Delta t} = -10 \frac{\text{мТл}}{\text{с}}$
Удельное сопротивление меди (справочное значение) $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Перевод в систему СИ:

$S = 0,20 \text{ мм}^2 = 0,20 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 2,0 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$
$D = 5,0 \text{ см} = 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
$\frac{\Delta B}{\Delta t} = -10 \frac{\text{мТл}}{\text{с}} = -10 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Тл}}{\text{с}} = -0,01 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$

Тепловую мощность $P$.

При изменении магнитного потока, пронизывающего соленоид, в нем возникает ЭДС индукции. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС, индуцируемая в соленоиде с $N$ витками, равна:

$\mathcal{E} = -N \frac{\Delta \Phi_1}{\Delta t}$

где $\Phi_1$ — магнитный поток через один виток. Магнитный поток через один виток определяется как $\Phi_1 = B \cdot A$, где $B$ — модуль индукции магнитного поля, а $A$ — площадь одного витка. Так как вектор индукции параллелен оси соленоида, угол между вектором индукции и нормалью к плоскости витка равен нулю.

Площадь одного витка (круга) равна:

$A = \frac{\pi D^2}{4}$

Поскольку площадь витка $A$ постоянна, изменение магнитного потока происходит за счет изменения индукции магнитного поля:

$\frac{\Delta \Phi_1}{\Delta t} = A \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{\pi D^2}{4} \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Тогда ЭДС индукции в соленоиде:

$\mathcal{E} = -N \frac{\pi D^2}{4} \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Эта ЭДС создает в замкнутом контуре индукционный ток. Тепловая мощность, выделяющаяся в проволоке, определяется законом Джоуля-Ленца:

$P = \frac{\mathcal{E}^2}{R}$

где $R$ — электрическое сопротивление всей проволоки соленоида. Сопротивление можно найти по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

Здесь $\rho$ — удельное сопротивление меди, $L$ — общая длина проволоки, $S$ — площадь ее поперечного сечения. Длина проволоки $L$ равна произведению длины одного витка (длины окружности) на количество витков $N$:

$L = N \cdot \pi D$

Следовательно, сопротивление равно:

$R = \rho \frac{N \pi D}{S}$

Подставим выражения для $\mathcal{E}$ и $R$ в формулу для мощности:

$P = \frac{\left(-N \frac{\pi D^2}{4} \frac{\Delta B}{\Delta t}\right)^2}{\rho \frac{N \pi D}{S}} = \frac{N^2 \frac{\pi^2 D^4}{16} \left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)^2}{\rho \frac{N \pi D}{S}}$

После упрощения получаем окончательную формулу для расчета мощности:

$P = \frac{N \pi D^3 S}{16 \rho} \left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)^2$

Подставим числовые значения из системы СИ:

$P = \frac{1000 \cdot \pi \cdot (5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^3 \cdot (2,0 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2)}{16 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} \left(-0,01 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}\right)^2$

$P = \frac{10^3 \cdot \pi \cdot 125 \cdot 10^{-6} \cdot 2,0 \cdot 10^{-7}}{27,2 \cdot 10^{-8}} \cdot 10^{-4} = \frac{250 \pi \cdot 10^{-10}}{27,2 \cdot 10^{-8}} \cdot 10^{-4}$

$P = \frac{250 \pi}{27,2} \cdot 10^{-6} \approx 28,88 \cdot 10^{-6} \text{ Вт}$

Округляя, получаем $P \approx 28,9 \text{ мкВт}$.

Тепловая мощность, выделяющаяся в проволоке, составляет примерно $28,9 \text{ мкВт}$.