Номер 1147, страница 262 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1147. Замкнутая квадратная рамка со стороной $a = 30$ см изготовлена из гибкой проволоки и расположена в однородном магнитном поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости рамки. Сопротивление проволоки $R = 1,0$ Ом. Модуль индукции магнитного поля $B = 1,0$ Тл. Определите модуль заряда, прошедшего по проволоке, если, не меняя плоскости расположения и не размыкая концы проволоки, придать ей форму:

а) окружности;

б) прямоугольника с отношением сторон 1 : 2;

в) прямой линии.

Дано

$a = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

$R = 1.0 \text{ Ом}$

$B = 1.0 \text{ Тл}$

Найти:

$q_а, q_б, q_в - ?$

Решение

Заряд, прошедший по замкнутому контуру при изменении магнитного потока через него, определяется по формуле, следующей из закона Фарадея и закона Ома:

$q = \frac{|\Delta\Phi|}{R}$

где $|\Delta\Phi|$ - модуль изменения магнитного потока, а $R$ - сопротивление контура.

Магнитный поток $\Phi$ через площадку $S$, расположенную перпендикулярно линиям однородного магнитного поля с индукцией $B$, равен $\Phi = B \cdot S$.

Так как индукция магнитного поля $B$ и ориентация рамки не меняются, изменение потока происходит только за счет изменения площади рамки: $\Delta\Phi = B \cdot \Delta S = B \cdot (S_{конечная} - S_{начальная})$.

Тогда формула для модуля заряда примет вид:

$q = \frac{B \cdot |S_{конечная} - S_{начальная}|}{R}$

Длина проволоки (периметр рамки) остается неизменной во всех случаях. Найдем ее из начальных условий (квадратная рамка):

$L = 4a = 4 \cdot 0.3 \text{ м} = 1.2 \text{ м}$

Начальная площадь рамки (площадь квадрата):

$S_{начальная} = a^2 = (0.3 \text{ м})^2 = 0.09 \text{ м}^2$

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) окружности

Проволоке придали форму окружности. Длина проволоки $L$ становится длиной окружности $L = 2\pi r$.

Радиус окружности: $r = \frac{L}{2\pi}$.

Конечная площадь (площадь круга): $S_а = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{L^2}{4\pi}$.

$S_а = \frac{(1.2 \text{ м})^2}{4\pi} = \frac{1.44}{4\pi} \approx 0.1146 \text{ м}^2$.

Модуль заряда, прошедшего по проволоке:

$q_а = \frac{B \cdot |S_а - S_{начальная}|}{R} = \frac{1.0 \text{ Тл} \cdot |0.1146 \text{ м}^2 - 0.09 \text{ м}^2|}{1.0 \text{ Ом}} = \frac{1.0 \cdot 0.0246}{1.0} \approx 0.025 \text{ Кл} = 25 \text{ мКл}$.

Ответ: $q_а \approx 25 \text{ мКл}$.

б) прямоугольника с отношением сторон 1 : 2

Проволоке придали форму прямоугольника со сторонами $x$ и $2x$.

Периметр прямоугольника равен длине проволоки: $L = 2(x + 2x) = 6x$.

Найдем сторону $x$: $x = \frac{L}{6} = \frac{1.2 \text{ м}}{6} = 0.2 \text{ м}$.

Стороны прямоугольника равны $0.2 \text{ м}$ и $0.4 \text{ м}$.

Конечная площадь (площадь прямоугольника): $S_б = x \cdot 2x = 2x^2 = 2 \cdot (0.2 \text{ м})^2 = 0.08 \text{ м}^2$.

Модуль заряда, прошедшего по проволоке:

$q_б = \frac{B \cdot |S_б - S_{начальная}|}{R} = \frac{1.0 \text{ Тл} \cdot |0.08 \text{ м}^2 - 0.09 \text{ м}^2|}{1.0 \text{ Ом}} = \frac{1.0 \cdot 0.01}{1.0} = 0.01 \text{ Кл} = 10 \text{ мКл}$.

Ответ: $q_б = 10 \text{ мКл}$.

в) прямой линии

Когда рамку складывают в прямую линию (например, вдвое), площадь, охватываемая контуром, становится равной нулю.

$S_в = 0$.

Модуль заряда, прошедшего по проволоке:

$q_в = \frac{B \cdot |S_в - S_{начальная}|}{R} = \frac{1.0 \text{ Тл} \cdot |0 - 0.09 \text{ м}^2|}{1.0 \text{ Ом}} = \frac{1.0 \cdot 0.09}{1.0} = 0.09 \text{ Кл} = 90 \text{ мКл}$.

Ответ: $q_в = 90 \text{ мКл}$.