Номер 1145, страница 261 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1145. Проволочный контур в виде гибкого кольца радиусом $r = 10$ см, покрытый изоляцией, находится в однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 0,05$ Тл. Линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости контура. Кольцо деформировали так, что оно приняло форму восьмерки, состоящей из двух одинаковых колец. При деформации контур оставался в одной плоскости, а магнитный поток через него изменялся равномерно. Определите сопротивление проволоки, если модуль заряда, прошедшего через ее поперечное сечение, $|q| = 8$ мКл.

Дано:

$r = 10 \text{ см}$

$B = 0,05 \text{ Тл}$

$|q| = 8 \text{ мкКл}$

Перевод в систему СИ:

$r = 0,1 \text{ м}$

$|q| = 8 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$R - ?$

Решение:

При изменении магнитного потока $ \Delta\Phi $ через замкнутый контур в нем возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции $ \mathcal{E}_{i} $, которая, согласно закону Фарадея, равна:

$ \mathcal{E}_{i} = - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} $

где $ \Delta t $ — время, за которое произошло изменение потока.

Эта ЭДС создает в контуре индукционный ток $ I $. По закону Ома для замкнутой цепи, сила тока равна:

$ I = \frac{|\mathcal{E}_{i}|}{R} = \frac{|\Delta\Phi|}{R \cdot \Delta t} $

где $ R $ — сопротивление контура.

Заряд $ q $, прошедший через поперечное сечение проводника за время $ \Delta t $, связан с силой тока соотношением:

$ |q| = I \cdot \Delta t $

Подставим выражение для силы тока в эту формулу:

$ |q| = \frac{|\Delta\Phi|}{R \cdot \Delta t} \cdot \Delta t = \frac{|\Delta\Phi|}{R} $

Отсюда можно выразить искомое сопротивление $ R $:

$ R = \frac{|\Delta\Phi|}{|q|} $

Теперь найдем изменение магнитного потока $ \Delta\Phi = \Phi_{2} - \Phi_{1} $.

Начальный магнитный поток $ \Phi_{1} $ через кольцо радиусом $ r $ определяется как произведение модуля индукции магнитного поля $ B $ на площадь контура $ S_1 $. Поскольку линии индукции перпендикулярны плоскости контура, $ \cos\alpha = 1 $.

$ S_1 = \pi r^2 $

$ \Phi_1 = B \cdot S_1 = B \pi r^2 $

Конечный контур имеет форму восьмерки, состоящей из двух одинаковых колец. Длина проволоки при деформации не менялась. Начальная длина проволоки равна длине окружности кольца: $ L = 2 \pi r $.

Эта длина распределилась на два одинаковых маленьких кольца, значит, длина окружности каждого из них равна $ L' = L/2 = \pi r $. Если радиус маленького кольца $ r' $, то его длина окружности $ L' = 2 \pi r' $.

$ 2 \pi r' = \pi r \implies r' = \frac{r}{2} $

Площадь одного маленького кольца $ S' = \pi (r')^2 = \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \frac{\pi r^2}{4} $.

Важным моментом является то, что в контуре в виде восьмерки токи в двух петлях текут в противоположных направлениях. Это означает, что нормали к плоскостям этих двух петель направлены в противоположные стороны. Поэтому магнитные потоки через эти две петли компенсируют друг друга. Конечный магнитный поток $ \Phi_2 $ через восьмерку равен нулю.

$ \Phi_2 = B S' - B S' = 0 $

Теперь найдем модуль изменения магнитного потока:

$ |\Delta\Phi| = |\Phi_2 - \Phi_1| = |0 - B \pi r^2| = B \pi r^2 $

Подставим это выражение в формулу для сопротивления:

$ R = \frac{B \pi r^2}{|q|} $

Выполним вычисления, подставив числовые значения в системе СИ:

$ R = \frac{0,05 \text{ Тл} \cdot \pi \cdot (0,1 \text{ м})^2}{8 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}} = \frac{0,05 \cdot 3,14 \cdot 0,01}{8 \cdot 10^{-6}} \text{ Ом} = \frac{0,00157}{8 \cdot 10^{-6}} \text{ Ом} \approx 196,25 \text{ Ом} $

Ответ: $R \approx 196$ Ом.