Номер 1138, страница 259 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1138. Замкнутый проволочный контур в виде квадрата помещен в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны поверхности, ограниченной контуром. При равномерном изменении индукции магнитного поля в контуре возникает индукционный ток $I_{\text{инд}1} = 1,8 \text{ мА}$. Контур трансформировали в два квадрата (рис. 273), отношение длин сторон которых $k = 2,0$. При этом плоскость, в которой находится контур, осталась неизменной. Определите индукционный ток в новом контуре.

Рис. 273

Дано:

I_инд1 = 1,8 мА

k = 2,0

I_инд1 = 1,8 ⋅ 10^-3 А

Найти:

I_инд2 - ?

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $ \mathcal{E}_{инд} $ в контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока $ \Phi $ через поверхность, ограниченную этим контуром:

$ \mathcal{E}_{инд} = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} $

Магнитный поток через плоский контур площадью $ S $, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией $ B $, линии которого перпендикулярны плоскости контура, равен $ \Phi = B \cdot S $.

Поскольку индукция магнитного поля изменяется равномерно, а площадь контура постоянна, то ЭДС индукции по модулю равна:

$ |\mathcal{E}_{инд}| = S \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| $

По закону Ома для замкнутой цепи, индукционный ток $ I_{инд} $ равен отношению ЭДС индукции к сопротивлению контура $ R $:

$ I_{инд} = \frac{|\mathcal{E}_{инд}|}{R} = \frac{S}{R} \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| $

Так как провод, из которого сделан контур, не меняется, его полное сопротивление $ R $ остается постоянным. Скорость изменения магнитной индукции $ \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| $ также является постоянной по условию задачи. Следовательно, индукционный ток прямо пропорционален площади контура:

$ I_{инд} \sim S $

Можно составить отношение для двух состояний контура:

$ \frac{I_{инд2}}{I_{инд1}} = \frac{S_2}{S_1} \implies I_{инд2} = I_{инд1} \frac{S_2}{S_1} $

Найдем площади контуров.

1. В первом случае контур представляет собой квадрат. Обозначим сторону этого квадрата через $a$. Тогда его площадь $ S_1 = a^2 $, а длина провода (периметр) $ L = 4a $.

2. Во втором случае контур трансформировали в два квадрата со сторонами $l$ и $kl$. Общая длина провода осталась той же. Длина провода нового контура равна сумме периметров двух квадратов: $ L = 4l + 4kl = 4l(1+k) $.

Приравняем длины провода для обоих случаев:

$ 4a = 4l(1+k) \implies a = l(1+k) $

Отсюда можно выразить сторону малого квадрата $l$ через сторону исходного квадрата $a$:

$ l = \frac{a}{1+k} $

Площадь нового контура $S_2$ равна сумме площадей двух квадратов:

$ S_2 = l^2 + (kl)^2 = l^2 + k^2l^2 = l^2(1+k^2) $

Подставим в это выражение $ l = \frac{a}{1+k} $:

$ S_2 = \left(\frac{a}{1+k}\right)^2 (1+k^2) = a^2 \frac{1+k^2}{(1+k)^2} $

Теперь найдем отношение площадей:

$ \frac{S_2}{S_1} = \frac{a^2 \frac{1+k^2}{(1+k)^2}}{a^2} = \frac{1+k^2}{(1+k)^2} $

Подставим это отношение в формулу для тока $ I_{инд2} $:

$ I_{инд2} = I_{инд1} \frac{1+k^2}{(1+k)^2} $

Выполним вычисления, подставив числовые значения $ I_{инд1} = 1,8 $ мА и $ k = 2,0 $:

$ I_{инд2} = 1,8 \cdot \frac{1+2,0^2}{(1+2,0)^2} = 1,8 \cdot \frac{1+4}{3^2} = 1,8 \cdot \frac{5}{9} = 0,2 \cdot 5 = 1,0 $ мА

Ответ:

индукционный ток в новом контуре равен 1,0 мА.