Номер 1137, страница 259 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1137. Замкнутый проволочный контур, имеющий вид восьмерки, помещен в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости контура. Считая петли восьмерки окружностями радиусами $r_1 = 30$ мм и $r_2 = 70$ мм, определите силу индукционного тока, который будет протекать по проволоке при убывании модуля индукции магнитного поля со скоростью $\frac{\Delta B}{\Delta t} = -3,0 \frac{\text{мТл}}{\text{с}}$. Сопротивление единицы длины проволоки $\mu = 2,0 \frac{\text{Ом}}{\text{м}}$. Нормали, проведенные к плоскостям кругов восьмерки, направлены противоположно друг другу. Проволока покрыта изоляционным лаком.

Дано:

$r_1 = 30 \text{ мм} = 0,03 \text{ м}$
$r_2 = 70 \text{ мм} = 0,07 \text{ м}$
$\frac{\Delta B}{\Delta t} = -3,0 \frac{\text{мТл}}{\text{с}} = -3,0 \times 10^{-3} \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$
$\mu = 2,0 \frac{\text{Ом}}{\text{м}}$

Найти:

$I$ - ?

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, равна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$

Магнитный поток $\Phi$ через контур площадью $S$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярной плоскости контура, равен $\Phi = B \cdot S$.

Контур имеет форму восьмерки, состоящей из двух окружностей. В условии сказано, что нормали к плоскостям кругов восьмерки направлены противоположно друг другу. Это означает, что при обходе всего контура мы проходим одну окружность в одном направлении (например, по часовой стрелке), а другую — в противоположном (против часовой стрелки).

Выберем направление нормали к большей петле $\vec{n}_2$ сонаправленным с вектором магнитной индукции $\vec{B}$. Тогда нормаль к меньшей петле $\vec{n}_1$ будет направлена противоположно вектору $\vec{B}$.

Полный магнитный поток через контур равен алгебраической сумме потоков через каждую петлю:

$\Phi = \Phi_1 + \Phi_2 = B S_1 \cos(180^\circ) + B S_2 \cos(0^\circ) = -B S_1 + B S_2 = B(S_2 - S_1)$

Площади петель равны $S_1 = \pi r_1^2$ и $S_2 = \pi r_2^2$.

$\Phi = \pi B (r_2^2 - r_1^2)$

Тогда ЭДС индукции в контуре:

$\mathcal{E} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = - \pi (r_2^2 - r_1^2) \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Нас интересует модуль ЭДС:

$|\mathcal{E}| = |-\pi (r_2^2 - r_1^2) \frac{\Delta B}{\Delta t}| = \pi (r_2^2 - r_1^2) \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|$

Теперь найдем полное сопротивление $R$ проволочного контура. Длина всей проволоки $L$ равна сумме длин двух окружностей:

$L = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 = 2\pi (r_1 + r_2)$

Сопротивление $R$ равно произведению сопротивления единицы длины $\mu$ на общую длину $L$:

$R = \mu L = 2\pi \mu (r_1 + r_2)$

По закону Ома для замкнутой цепи, сила индукционного тока $I$ равна:

$I = \frac{|\mathcal{E}|}{R} = \frac{\pi (r_2^2 - r_1^2) \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|}{2\pi \mu (r_1 + r_2)}$

Используя формулу разности квадратов $r_2^2 - r_1^2 = (r_2 - r_1)(r_2 + r_1)$, упростим выражение:

$I = \frac{\pi (r_2 - r_1)(r_2 + r_1) \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|}{2\pi \mu (r_1 + r_2)} = \frac{(r_2 - r_1) \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|}{2\mu}$

Подставим числовые значения:

$I = \frac{(0,07 \text{ м} - 0,03 \text{ м}) \cdot |-3,0 \times 10^{-3} \frac{\text{Тл}}{\text{с}}|}{2 \cdot 2,0 \frac{\text{Ом}}{\text{м}}} = \frac{0,04 \text{ м} \cdot 3,0 \times 10^{-3} \frac{\text{Тл}}{\text{с}}}{4,0 \frac{\text{Ом}}{\text{м}}}$

$I = \frac{0,12 \times 10^{-3}}{4,0} \text{ А} = 0,03 \times 10^{-3} \text{ А} = 3 \times 10^{-5} \text{ А}$

Переведем в микроамперы: $3 \times 10^{-5} \text{ А} = 30 \times 10^{-6} \text{ А} = 30 \text{ мкА}$.

Ответ: $I = 30 \text{ мкА}$.