Номер 1139, страница 260 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1139. Катушка, концы которой соединены накоротко, изготовлена из медной проволоки площадью поперечного сечения $S = 0,12 \text{ мм}^2$. Модуль индукции однородного магнитного поля, в котором находится катушка, равномерно увеличился от $B_1 = 15 \text{ мТл}$ до $B_2 = 35 \text{ мТл}$. Определите модуль заряда, прошедшего по виткам катушки, если радиус каждого витка $r = 17 \text{ см}$. Линии индукции магнитного поля перпендикулярны поверхностям, ограниченным витками.

Дано

Площадь поперечного сечения проволоки $S = 0.12 \text{ мм}^2 = 0.12 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 1.2 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$

Начальная индукция магнитного поля $B_1 = 15 \text{ мТл} = 15 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Конечная индукция магнитного поля $B_2 = 35 \text{ мТл} = 35 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Радиус витка $r = 17 \text{ см} = 0.17 \text{ м}$

Удельное сопротивление меди (справочное значение) $\rho = 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Модуль заряда $q$

Решение

При изменении магнитного потока через катушку в ней возникает ЭДС индукции, которая, согласно закону Фарадея, для катушки с $N$ витками равна:

$|\mathcal{E}| = N \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|$

где $\Delta \Phi$ - изменение магнитного потока через один виток, а $\Delta t$ - время, за которое это изменение произошло.

Магнитный поток через один виток определяется как $\Phi = B \cdot A \cdot \cos(\alpha)$, где $A$ - площадь витка, а $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $B$ и нормалью к плоскости витка. По условию, линии индукции перпендикулярны поверхности витков, значит, $\alpha=0$ и $\cos(\alpha)=1$. Площадь одного витка $A = \pi r^2$.

Изменение магнитного потока через один виток равно:

$\Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = B_2 A - B_1 A = (B_2 - B_1) \pi r^2$

Тогда ЭДС индукции:

$|\mathcal{E}| = N \frac{(B_2 - B_1) \pi r^2}{\Delta t}$

По закону Ома для замкнутой цепи, индукционный ток в катушке равен:

$I = \frac{|\mathcal{E}|}{R}$

где $R$ - сопротивление катушки. Заряд, прошедший по виткам катушки за время $\Delta t$, равен:

$q = I \cdot \Delta t = \frac{|\mathcal{E}|}{R} \cdot \Delta t$

Подставим выражение для ЭДС в формулу для заряда:

$q = \frac{N (B_2 - B_1) \pi r^2}{R \cdot \Delta t} \cdot \Delta t = \frac{N (B_2 - B_1) \pi r^2}{R}$

Сопротивление $R$ медной проволоки, из которой сделана катушка, определяется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $L$ - общая длина проволоки, $S$ - площадь ее поперечного сечения. Длина проволоки для $N$ витков радиусом $r$ равна $L = N \cdot 2\pi r$.

Тогда сопротивление катушки:

$R = \rho \frac{N \cdot 2\pi r}{S}$

Подставим это выражение для сопротивления в формулу для заряда $q$:

$q = \frac{N (B_2 - B_1) \pi r^2}{\rho \frac{N \cdot 2\pi r}{S}}$

Сократив одинаковые множители ($N$, $\pi$, $r$), получим окончательную формулу для расчета заряда:

$q = \frac{(B_2 - B_1) r S}{2 \rho}$

Как видно, искомый заряд не зависит от числа витков в катушке и от времени изменения магнитного поля.

Подставим числовые значения в систему СИ:

$q = \frac{(35 \cdot 10^{-3} - 15 \cdot 10^{-3}) \text{ Тл} \cdot 0.17 \text{ м} \cdot 1.2 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2}{2 \cdot 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{20 \cdot 10^{-3} \cdot 0.17 \cdot 1.2 \cdot 10^{-7}}{3.4 \cdot 10^{-8}} \text{ Кл}$

$q = \frac{4.08 \cdot 10^{-10}}{3.4 \cdot 10^{-8}} \text{ Кл} = 1.2 \cdot 10^{-2} \text{ Кл} = 0.012 \text{ Кл}$

Ответ: $q = 0.012 \text{ Кл}$.