Номер 1134, страница 258 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1134. Проволочное кольцо радиусом $r = 5{,}0 \text{ см}$ помещают в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости кольца. Модуль индукции магнитного поля $B = 8{,}0 \text{ мТл}$. Сопротивление единицы длины кольца $\mu = 4{,}0 \frac{\text{мОм}}{\text{м}}$. Определите среднюю силу индукционного тока в кольце, если его повернуть за время $\Delta t = 75 \text{ мс}$ вокруг оси, совпадающей с диаметром кольца, на угол $\theta = 120^\circ$.

Дано:

$r = 5,0 \text{ см}$
$B = 8,0 \text{ мТл}$
$\mu = 4,0 \frac{\text{мОм}}{\text{м}}$
$\Delta t = 75 \text{ мс}$
$\theta = 120^\circ$

Перевод в систему СИ:
$r = 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
$B = 8,0 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$
$\mu = 4,0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Ом}}{\text{м}}$
$\Delta t = 75 \cdot 10^{-3} \text{ с}$

Найти:

$I_i$ - средняя сила индукционного тока.

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, средняя ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, равна скорости изменения магнитного потока через этот контур, взятой с обратным знаком. Нас интересует модуль ЭДС: $|\mathcal{E}_i| = \left| -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \right| = \frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$

Магнитный поток $\Phi$ через плоский контур площадью $S$ в однородном магнитном поле $B$ определяется формулой: $\Phi = B S \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) $\vec{n}$ к плоскости контура.

Площадь кольца: $S = \pi r^2$.

В начальном положении линии индукции перпендикулярны плоскости кольца, следовательно, угол между нормалью и вектором индукции $\alpha_1 = 0^\circ$. Начальный магнитный поток: $\Phi_1 = B S \cos 0^\circ = B S$

Кольцо поворачивают на угол $\theta = 120^\circ$. Угол между нормалью и вектором индукции в конечном положении становится $\alpha_2 = 120^\circ$. Конечный магнитный поток: $\Phi_2 = B S \cos 120^\circ$

Изменение магнитного потока: $\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = B S \cos 120^\circ - B S = B S (\cos 120^\circ - 1)$

Тогда модуль средней ЭДС индукции: $|\mathcal{E}_i| = \frac{|B S (\cos 120^\circ - 1)|}{\Delta t} = \frac{B \pi r^2 |\cos 120^\circ - 1|}{\Delta t}$

Сопротивление кольца $R$ равно произведению сопротивления единицы длины $\mu$ на длину кольца (длину окружности) $L = 2\pi r$: $R = \mu L = \mu \cdot 2\pi r$

По закону Ома для замкнутой цепи, средняя сила индукционного тока $I_i$ равна: $I_i = \frac{|\mathcal{E}_i|}{R} = \frac{\frac{B \pi r^2 |\cos 120^\circ - 1|}{\Delta t}}{\mu \cdot 2\pi r}$

Упростим выражение: $I_i = \frac{B r |\cos 120^\circ - 1|}{2 \mu \Delta t}$

Подставим числовые значения: $\cos 120^\circ = -0.5$. $|\cos 120^\circ - 1| = |-0.5 - 1| = |-1.5| = 1.5$

$I_i = \frac{8,0 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} \cdot 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м} \cdot 1.5}{2 \cdot 4,0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Ом}}{\text{м}} \cdot 75 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = \frac{8,0 \cdot 5,0 \cdot 1.5 \cdot 10^{-5}}{2 \cdot 4,0 \cdot 75 \cdot 10^{-6}} = \frac{60 \cdot 10^{-5}}{600 \cdot 10^{-6}} = \frac{6 \cdot 10^{-4}}{6 \cdot 10^{-4}} = 1 \text{ А}$

Ответ: $1 \text{ А}$.