Номер 1130, страница 257 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1130. На рисунке 269 представлена зависимость от времени модуля индукции однородного магнитного поля, в котором находится проволочный квадратный контур с длиной стороны $a = 6,0$ см и сопротивлением $R = 16$ мОм. Определите силу индукционного тока в контуре в момент времени $t = 0,3$ с, если линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости контура.

Рис. 269

Дано:

$a = 6,0 \text{ см}$

$R = 16 \text{ мОм}$

$t = 0,3 \text{ с}$

График зависимости $B(t)$

Перевод в систему СИ:

$a = 0,06 \text{ м}$

$R = 16 \cdot 10^{-3} \text{ Ом}$

Найти:

$I_i$

Решение:

Сила индукционного тока $I_i$ в контуре находится по закону Ома для замкнутой цепи:

$I_i = \frac{E_i}{R}$

где $E_i$ — это ЭДС индукции, возникающая в контуре, а $R$ — его сопротивление.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, модуль ЭДС индукции равен скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур:

$E_i = |\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}|$

Магнитный поток $\Phi$ через плоский контур площадью $S$ в однородном магнитном поле определяется как:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos{\alpha}$

Здесь $B$ — модуль индукции магнитного поля, $S$ — площадь контура, $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) к плоскости контура.

По условию задачи, линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости контура, это означает, что угол $\alpha = 0^\circ$, и $\cos{0^\circ} = 1$. Таким образом, формула для магнитного потока упрощается:

$\Phi = B \cdot S$

Поскольку площадь контура $S$ постоянна, ЭДС индукции возникает только за счет изменения индукции магнитного поля $B$ со временем:

$E_i = |\frac{\Delta(B \cdot S)}{\Delta t}| = S \cdot |\frac{\Delta B}{\Delta t}|$

Сначала вычислим площадь квадратного контура:

$S = a^2 = (0,06 \text{ м})^2 = 0,0036 \text{ м}^2 = 3,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

Далее найдем скорость изменения индукции магнитного поля $|\frac{\Delta B}{\Delta t}|$ в момент времени $t = 0,3 \text{ с}$. Из графика видно, что этот момент времени находится на линейном участке от $t_1 = 0,2 \text{ с}$ до $t_2 = 0,4 \text{ с}$. На этом интервале скорость изменения $B$ постоянна и равна тангенсу угла наклона графика.

Определим значения индукции в начальной и конечной точках этого интервала по графику:

При $t_1 = 0,2 \text{ с}$, $B_1 = 40 \text{ мТл} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ Т}$.

При $t_2 = 0,4 \text{ с}$, $B_2 = 0 \text{ мТл} = 0 \text{ Т}$.

Теперь рассчитаем скорость изменения индукции:

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{B_2 - B_1}{t_2 - t_1} = \frac{0 - 40 \cdot 10^{-3} \text{ Т}}{0,4 \text{ с} - 0,2 \text{ с}} = \frac{-40 \cdot 10^{-3} \text{ Т}}{0,2 \text{ с}} = -0,2 \frac{\text{Т}}{\text{с}}$

Модуль скорости изменения индукции равен $|\frac{\Delta B}{\Delta t}| = 0,2 \frac{\text{Т}}{\text{с}}$.

Теперь мы можем рассчитать модуль ЭДС индукции:

$E_i = S \cdot |\frac{\Delta B}{\Delta t}| = 3,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 \cdot 0,2 \frac{\text{Т}}{\text{с}} = 0,72 \cdot 10^{-3} \text{ В}$

Наконец, находим силу индукционного тока:

$I_i = \frac{E_i}{R} = \frac{0,72 \cdot 10^{-3} \text{ В}}{16 \cdot 10^{-3} \text{ Ом}} = \frac{0,72}{16} \text{ А} = 0,045 \text{ А}$

Этот результат можно также представить в миллиамперах: $0,045 \text{ А} = 45 \text{ мА}$.

Ответ: $0,045 \text{ А}$.