Номер 1123, страница 255 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1123. Соленоид, состоящий из $N=100$ витков проволоки диаметром $D=10 \text{ см}$ каждый, помещен в однородное магнитное поле, линии индукции которого параллельны оси соленоида. Соленоид замкнут на конденсатор емкостью $C=40 \text{ мкФ}$. Определите заряд конденсатора, если модуль индукции магнитного поля изменяется со скоростью $\frac{\Delta B}{\Delta t}=-20 \frac{\text{мТл}}{\text{с}}$.

Дано:

$N = 100$

$D = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$C = 40 \text{ мкФ} = 40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = -20 \frac{\text{мТл}}{\text{с}} = -20 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$

Найти:

$q - ?$

Решение:

Изменение индукции магнитного поля вызывает изменение магнитного потока $ \Phi $, пронизывающего соленоид. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, в соленоиде возникает ЭДС индукции $ \mathcal{E} $.

Магнитный поток через один виток соленоида равен $ \Phi_1 = B \cdot S $, где $ S $ — площадь витка, а $ B $ — модуль индукции магнитного поля. Поскольку линии индукции параллельны оси соленоида, угол между вектором индукции и нормалью к плоскости витка равен нулю, и $ \cos(0) = 1 $.

Площадь одного витка $ S $ определяется через его диаметр $ D $:$ S = \frac{\pi D^2}{4} $

Полный магнитный поток через соленоид, состоящий из $ N $ витков, равен:$ \Phi = N \cdot \Phi_1 = N \cdot B \cdot S $

ЭДС индукции $ \mathcal{E} $, возникающая в соленоиде, определяется как скорость изменения магнитного потока:$ \mathcal{E} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{\Delta(NBS)}{\Delta t} $

Так как число витков $ N $ и площадь $ S $ постоянны, то:$ \mathcal{E} = -N \cdot S \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} $

Эта ЭДС действует как источник напряжения в цепи, состоящей из соленоида и конденсатора. Конденсатор будет заряжаться до тех пор, пока напряжение на нем $ U $ не станет равным по модулю ЭДС индукции:$ U = |\mathcal{E}| = \left| -N \cdot S \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| = N \cdot S \cdot \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| $

Заряд на конденсаторе $ q $ связан с напряжением $ U $ и емкостью $ C $ формулой:$ q = C \cdot U $

Подставим выражение для напряжения:$ q = C \cdot N \cdot S \cdot \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| = C \cdot N \cdot \frac{\pi D^2}{4} \cdot \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| $

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:$ q = 40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 100 \cdot \frac{\pi \cdot (0.1 \text{ м})^2}{4} \cdot \left| -20 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Тл}}{\text{с}} \right| $

$ q = 40 \cdot 10^{-6} \cdot 100 \cdot \frac{\pi \cdot 0.01}{4} \cdot 20 \cdot 10^{-3} $

$ q = (40 \cdot 100 \cdot \frac{0.01}{4} \cdot 20) \cdot \pi \cdot 10^{-9} \text{ Кл} $

$ q = (10 \cdot 100 \cdot 0.01 \cdot 20) \cdot \pi \cdot 10^{-9} \text{ Кл} $

$ q = 200 \pi \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 2\pi \cdot 10^{-7} \text{ Кл} $

Вычислим приближенное значение, приняв $ \pi \approx 3.14 $:$ q \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = 6.28 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = 0.628 \text{ мкКл} $

Ответ: Заряд конденсатора равен $q = 2\pi \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$, что приблизительно составляет $0.63 \text{ мкКл}$.