Номер 1121, страница 255 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1121. Тонкий провод длиной $l = 50$ см, покрытый изоляционным лаком, согнут в виде квадрата и расположен в однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 314$ мТл. Причем линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости, ограниченной квадратом. За промежуток времени $\Delta t = 4,3$ мс квадрат преобразуют в окружность без изменения длины провода и ориентации контура в поле. Определите среднее значение ЭДС индукции, возникающей в контуре во время его трансформации.

Дано:

$l = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

$B = 314 \text{ мТл} = 0.314 \text{ Тл}$

$\Delta t = 4.3 \text{ мс} = 4.3 \cdot 10^{-3} \text{ с}$

Найти:

$\mathcal{E}_{i}$

Решение:

Среднее значение ЭДС индукции, возникающей в замкнутом контуре, определяется законом электромагнитной индукции Фарадея:

$\mathcal{E}_{i} = \left| -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|$

где $\Delta \Phi$ - изменение магнитного потока через контур за промежуток времени $\Delta t$.

Магнитный поток $\Phi$ через плоский контур площадью $S$, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией $B$, вычисляется по формуле:

$\Phi = B S \cos \alpha$

где $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости контура. По условию задачи, линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости контура, следовательно, угол $\alpha = 0^\circ$ и $\cos 0^\circ = 1$. Таким образом, $\Phi = B S$.

Поскольку магнитное поле постоянно, изменение магнитного потока обусловлено только изменением площади контура при его трансформации из квадрата в окружность:

$\Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = B S_2 - B S_1 = B(S_2 - S_1)$

Здесь $S_1$ - начальная площадь контура (квадрата), а $S_2$ - конечная площадь (окружности).

Тогда формула для ЭДС индукции примет вид:

$\mathcal{E}_{i} = B \frac{|S_2 - S_1|}{\Delta t}$

Найдем начальную и конечную площади контура. Длина провода $l$ остается неизменной и равна периметру фигур.

1. В начальный момент контур имеет форму квадрата. Его периметр равен $l$. Сторона квадрата $a$ равна:

$a = \frac{l}{4}$

Площадь квадрата $S_1$:

$S_1 = a^2 = \left(\frac{l}{4}\right)^2 = \frac{l^2}{16}$

2. В конечный момент контур имеет форму окружности. Ее длина (периметр) равна $l$. Найдем радиус окружности $r$:

$l = 2\pi r \implies r = \frac{l}{2\pi}$

Площадь окружности $S_2$:

$S_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{l}{2\pi}\right)^2 = \pi \frac{l^2}{4\pi^2} = \frac{l^2}{4\pi}$

Известно, что при одинаковом периметре площадь круга больше площади любой другой плоской фигуры, поэтому $S_2 > S_1$.

Теперь подставим выражения для площадей в формулу для ЭДС:

$\mathcal{E}_{i} = \frac{B}{\Delta t} \left(\frac{l^2}{4\pi} - \frac{l^2}{16}\right) = \frac{B l^2}{\Delta t} \left(\frac{1}{4\pi} - \frac{1}{16}\right)$

Выполним вычисления. Заметим, что значение индукции $B = 0.314$ Тл очень близко к $0.1\pi$ (при $\pi \approx 3.14$), что позволяет упростить расчеты.

$\mathcal{E}_{i} = \frac{0.314 \cdot (0.5)^2}{4.3 \cdot 10^{-3}} \left(\frac{1}{4 \cdot 3.14} - \frac{1}{16}\right) \approx \frac{0.1\pi \cdot 0.25}{4.3 \cdot 10^{-3}} \left(\frac{1}{4\pi} - \frac{1}{16}\right)$

$\mathcal{E}_{i} = \frac{0.025\pi}{4.3 \cdot 10^{-3}} \left(\frac{4 - \pi}{16\pi}\right)$

Сократим $\pi$:

$\mathcal{E}_{i} = \frac{0.025}{4.3 \cdot 10^{-3}} \cdot \frac{4 - \pi}{16} = \frac{0.025 (4 - 3.14)}{4.3 \cdot 10^{-3} \cdot 16} = \frac{0.025 \cdot 0.86}{68.8 \cdot 10^{-3}} = \frac{0.0215}{0.0688} \approx 0.3125 \text{ В}$

Ответ: среднее значение ЭДС индукции, возникающей в контуре, составляет приблизительно $0.3125$ В.