Номер 1114, страница 253 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1114. Проволочное кольцо радиусом $r$ помещено в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости кольца. На рисунке 266 представлен график зависимости модуля индукции магнитного поля от времени. Постройте график зависимости ЭДС индукции, возникающей в кольце, от времени.

$B$

$2B_0$

$B_0$

$0$

$t_0$

$2t_0$

$3t_0$

$4t_0$

$t$

Рис. 266

Дано:

Проволочное кольцо радиусом $r$.

График зависимости модуля индукции магнитного поля от времени $B(t)$ (Рис. 266).

Линии индукции перпендикулярны плоскости кольца.

Найти:

Построить график зависимости ЭДС индукции, возникающей в кольце, от времени $\mathcal{E}(t)$.

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$, возникающая в замкнутом контуре, равна скорости изменения магнитного потока $\Phi$ через поверхность, ограниченную этим контуром, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}$

Магнитный поток $\Phi$ через кольцо определяется формулой:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos\alpha$

где $B$ – модуль индукции магнитного поля, $S$ – площадь кольца, $\alpha$ – угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости кольца. По условию, линии индукции перпендикулярны плоскости кольца, следовательно, $\alpha = 0$ и $\cos\alpha = 1$.

Площадь кольца постоянна и равна $S = \pi r^2$.

Тогда магнитный поток равен $\Phi(t) = B(t) \cdot S = B(t) \cdot \pi r^2$.

Подставим выражение для потока в закон Фарадея:

$\mathcal{E}(t) = -\frac{d(B(t) \cdot S)}{dt}$

Так как площадь $S$ не изменяется со временем, ее можно вынести за знак производной:

$\mathcal{E}(t) = -S \frac{dB(t)}{dt} = -\pi r^2 \frac{dB(t)}{dt}$

Величина $\frac{dB}{dt}$ представляет собой тангенс угла наклона графика $B(t)$. Так как на каждом из четырех интервалов времени график $B(t)$ является прямой линией, то на каждом из этих интервалов производная $\frac{dB}{dt}$ будет постоянной, а следовательно, и ЭДС индукции $\mathcal{E}$ также будет постоянной.

Рассчитаем ЭДС для каждого интервала времени:

1. Интервал от $0$ до $t_0$:

Магнитная индукция линейно возрастает от $0$ до $2B_0$.

$\frac{dB}{dt} = \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{2B_0 - 0}{t_0 - 0} = \frac{2B_0}{t_0}$

$\mathcal{E}_1 = -S \cdot \frac{2B_0}{t_0} = -\frac{2\pi r^2 B_0}{t_0}$

2. Интервал от $t_0$ до $2t_0$:

Магнитная индукция линейно убывает от $2B_0$ до $0$.

$\frac{dB}{dt} = \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{0 - 2B_0}{2t_0 - t_0} = -\frac{2B_0}{t_0}$

$\mathcal{E}_2 = -S \cdot \left(-\frac{2B_0}{t_0}\right) = \frac{2\pi r^2 B_0}{t_0}$

3. Интервал от $2t_0$ до $3t_0$:

Магнитная индукция линейно возрастает от $0$ до $B_0$.

$\frac{dB}{dt} = \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{B_0 - 0}{3t_0 - 2t_0} = \frac{B_0}{t_0}$

$\mathcal{E}_3 = -S \cdot \frac{B_0}{t_0} = -\frac{\pi r^2 B_0}{t_0}$

4. Интервал от $3t_0$ до $4t_0$:

Магнитная индукция линейно убывает от $B_0$ до $0$.

$\frac{dB}{dt} = \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{0 - B_0}{4t_0 - 3t_0} = -\frac{B_0}{t_0}$

$\mathcal{E}_4 = -S \cdot \left(-\frac{B_0}{t_0}\right) = \frac{\pi r^2 B_0}{t_0}$

Обозначим величину $\mathcal{E}_0 = \frac{\pi r^2 B_0}{t_0}$. Тогда на интервалах ЭДС будет принимать следующие значения:

• от $0$ до $t_0$: $\mathcal{E}_1 = -2\mathcal{E}_0$
• от $t_0$ до $2t_0$: $\mathcal{E}_2 = 2\mathcal{E}_0$
• от $2t_0$ до $3t_0$: $\mathcal{E}_3 = -\mathcal{E}_0$
• от $3t_0$ до $4t_0$: $\mathcal{E}_4 = \mathcal{E}_0$

Теперь построим график зависимости $\mathcal{E}(t)$.

Ответ:

График зависимости ЭДС индукции от времени представляет собой ступенчатую функцию. На интервале $(0, t_0)$ ЭДС постоянна и равна $-2\mathcal{E}_0$; на интервале $(t_0, 2t_0)$ ЭДС постоянна и равна $2\mathcal{E}_0$; на интервале $(2t_0, 3t_0)$ ЭДС постоянна и равна $-\mathcal{E}_0$; на интервале $(3t_0, 4t_0)$ ЭДС постоянна и равна $\mathcal{E}_0$, где $\mathcal{E}_0 = \frac{\pi r^2 B_0}{t_0}$. График показан ниже.