Номер 338, страница 68 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

338. Идеальный газ, начальная абсолютная температура которого $T_1$, сначала нагревают при постоянном объеме так, что его давление возрастает в $n$ раз, а затем сжимают при постоянном давлении, доводя температуру до прежнего значения $T_3 = T_1$ (рис. 39). Какая работа совершена внешней силой при изобарном сжатии газа, если его масса $m$, а молярная масса $M$?

Рис. 39

Дано:

Идеальный газ

Начальная температура: $T_1$

Процесс 1-2: изохорный ($V = \text{const}$)

Отношение давлений: $\frac{p_2}{p_1} = n$

Процесс 2-3: изобарный ($p = \text{const}$)

Конечная температура: $T_3 = T_1$

Масса газа: $m$

Молярная масса: $M$

Найти:

Работу внешней силы при изобарном сжатии $A'_{2-3}$.

Решение:

Процесс, описанный в задаче, состоит из двух этапов: изохорного нагревания (1-2) и изобарного сжатия (2-3). Требуется найти работу, совершенную внешней силой на втором этапе.

Работа, совершаемая внешней силой над газом, равна работе, совершаемой самим газом, но с противоположным знаком:

$A'_{2-3} = -A_{2-3}$

Работа газа $A_{2-3}$ в изобарном процессе (при постоянном давлении $p_2$) определяется по формуле:

$A_{2-3} = p_2 (V_3 - V_2)$

где $V_2$ и $V_3$ — объемы газа в состояниях 2 и 3 соответственно. Тогда работа внешней силы:

$A'_{2-3} = -p_2 (V_3 - V_2) = p_2 (V_2 - V_3)$

Для нахождения этой работы воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона): $pV = \nu RT$, где $\nu = \frac{m}{M}$ — количество вещества.

Работу в изобарном процессе можно выразить через изменение температуры. Из первого начала термодинамики для изобарного процесса работа газа равна $A = \nu R \Delta T$. Следовательно, работа внешней силы равна:

$A'_{2-3} = -\nu R (T_3 - T_2) = \nu R (T_2 - T_3)$

По условию, в конце процесса сжатия температура газа возвращается к исходному значению: $T_3 = T_1$.

Найдем температуру $T_2$ в конце изохорного нагревания (процесс 1-2). Для изохорного процесса ($V = \text{const}$) справедлив закон Шарля:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Из условия задачи известно, что давление возросло в $n$ раз, то есть $p_2 = n \cdot p_1$. Выразим отсюда температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \frac{p_2}{p_1} = T_1 \frac{n \cdot p_1}{p_1} = nT_1$

Теперь мы можем вычислить работу внешней силы, подставив выражения для $\nu$, $T_2$ и $T_3$:

$A'_{2-3} = \frac{m}{M} R (nT_1 - T_1)$

Вынесем $T_1$ за скобки:

$A'_{2-3} = \frac{mR(n-1)T_1}{M}$

Поскольку газ нагревался ($n>1$), работа внешней силы $A'_{2-3}$ положительна, что соответствует сжатию газа.

Ответ: Работа, совершенная внешней силой при изобарном сжатии газа, равна $A' = \frac{mR(n-1)T_1}{M}$.