Номер 339, страница 68 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

339. Сначала идеальный газ, количество молекул которого $N = 1,2 \cdot 10^{20}$, изобарно нагрели (рис. 40), а затем изохорно охладили до первоначальной температуры $T_3 = T_1 = 600 \text{ K}$. Определите работу, совершенную силой давления газа при изобарном процессе.

Рис. 40

p

$p_1$

$\frac{p_1}{3}$

0

V

1

2

3

Дано:

Количество молекул идеального газа, $N = 1,2 \cdot 10^{20}$

Начальная температура, $T_1 = 600$ К

Конечная температура, $T_3 = 600$ К

Процесс 1-2 — изобарный ($p = \text{const}$)

Процесс 2-3 — изохорный ($V = \text{const}$)

Постоянная Больцмана, $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Найти:

Работу газа при изобарном процессе, $A_{12}$

Решение:

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе (процесс 1-2), определяется по формуле:

$A_{12} = p_1(V_2 - V_1)$

где $p_1$ — постоянное давление в процессе, $V_1$ и $V_2$ — начальный и конечный объемы газа соответственно.

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа $pV = NkT$. Для состояний 1 и 2 можно записать:

$p_1 V_1 = NkT_1$

$p_1 V_2 = NkT_2$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы выразить работу через изменение температуры:

$p_1 V_2 - p_1 V_1 = NkT_2 - NkT_1$

$p_1(V_2 - V_1) = Nk(T_2 - T_1)$

Таким образом, формула для работы принимает вид:

$A_{12} = Nk(T_2 - T_1)$

Для вычисления работы необходимо найти температуру $T_2$ в конце изобарного процесса.

Рассмотрим процесс 2-3. Это изохорное охлаждение ($V_2 = V_3 = \text{const}$). Для этого процесса применим закон Шарля:

$\frac{p_2}{T_2} = \frac{p_3}{T_3}$

Из графика видно, что давление в процессе 1-2 постоянно и равно $p_1$, то есть $p_2 = p_1$. Давление в состоянии 3, согласно графику, равно $p_3 = \frac{p_1}{3}$. Подставим эти соотношения в закон Шарля:

$\frac{p_1}{T_2} = \frac{p_1/3}{T_3}$

Сократив $p_1$, получим:

$\frac{1}{T_2} = \frac{1}{3T_3}$

Отсюда находим связь между температурами $T_2$ и $T_3$:

$T_2 = 3T_3$

По условию задачи, газ охладили до первоначальной температуры, то есть $T_3 = T_1 = 600$ К. Следовательно, температура в состоянии 2 равна:

$T_2 = 3 \cdot 600 \text{ К} = 1800$ К

Теперь мы можем рассчитать работу, совершенную газом при изобарном нагревании:

$A_{12} = Nk(T_2 - T_1) = 1,2 \cdot 10^{20} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot (1800 \text{ К} - 600 \text{ К})$

$A_{12} = 1,2 \cdot 10^{20} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 1200 \text{ К}$

$A_{12} = (1,2 \cdot 1,38 \cdot 1200) \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 1987,2 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} \approx 1,99$ Дж

С учётом того, что количество молекул $N$ задано с двумя значащими цифрами, округлим ответ до двух значащих цифр.

Ответ: работа, совершенная силой давления газа при изобарном процессе, равна $2,0$ Дж.