Номер 333, страница 67 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

333. В вертикальном цилиндре с площадью основания $S = 100 \text{ см}^2$ находится идеальный газ при температуре $T_1 = 300 \text{ К}$. На высоте $h_1 = 30 \text{ см}$ от основания цилиндра расположен гладкий поршень массой $m_{\text{п}} = 60 \text{ кг}$. Определите работу, которую совершит сила давления газа при расширении, если его температуру медленно повысить на $\Delta t = 50 \text{ °C}$. Атмосферное давление $p_0 = 100 \text{ кПа}$.

Дано:

$S = 100 \text{ см}^2$

$T_1 = 300 \text{ К}$

$h_1 = 30 \text{ см}$

$m_п = 60 \text{ кг}$

$\Delta t = 50 \text{ °C}$

$p_0 = 100 \text{ кПа}$

Перевод в систему СИ:

$S = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.01 \text{ м}^2$

$h_1 = 0.3 \text{ м}$

Изменение температуры в Кельвинах равно изменению в градусах Цельсия: $\Delta T = \Delta t = 50 \text{ К}$

$p_0 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$A$ - работа газа.

Решение:

Поскольку температуру газа повышают медленно, поршень находится в равновесии в любой момент времени. Это означает, что давление газа $p$ постоянно в течение всего процесса. Такой процесс называется изобарным.

Давление газа $p$ уравновешивает внешнее атмосферное давление $p_0$ и давление, создаваемое весом поршня. Запишем условие равновесия сил, действующих на поршень. Сила давления газа $F_{газа}$, направленная вверх, равна сумме силы атмосферного давления $F_0$ и силы тяжести поршня $F_т=m_п g$, направленных вниз:

$F_{газа} = F_0 + F_т$

Расписывая силы через давление и площадь, получаем:

$pS = p_0 S + m_п g$

Отсюда выразим давление газа в цилиндре:

$p = p_0 + \frac{m_п g}{S}$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$:

$p = 10^5 \text{ Па} + \frac{60 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.01 \text{ м}^2} = 10^5 \text{ Па} + \frac{600}{0.01} \text{ Па} = 10^5 \text{ Па} + 60000 \text{ Па} = 1.6 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Работа, совершаемая газом при изобарном расширении, вычисляется по формуле:

$A = p \Delta V = p (V_2 - V_1)$

где $V_1$ и $V_2$ — начальный и конечный объемы газа.

Для изобарного процесса применим закон Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Начальный объем газа: $V_1 = S h_1$.

Конечная температура газа: $T_2 = T_1 + \Delta T = 300 \text{ К} + 50 \text{ К} = 350 \text{ К}$.

Из закона Гей-Люссака найдем изменение объема $\Delta V = V_2 - V_1$:

$V_2 = V_1 \frac{T_2}{T_1}$

$\Delta V = V_1 \frac{T_2}{T_1} - V_1 = V_1 (\frac{T_2}{T_1} - 1) = V_1 \frac{T_2 - T_1}{T_1} = V_1 \frac{\Delta T}{T_1}$

Вычислим начальный объем:

$V_1 = S h_1 = 0.01 \text{ м}^2 \cdot 0.3 \text{ м} = 0.003 \text{ м}^3$

Теперь найдем изменение объема:

$\Delta V = 0.003 \text{ м}^3 \cdot \frac{50 \text{ К}}{300 \text{ К}} = 0.003 \cdot \frac{1}{6} = 0.0005 \text{ м}^3$

Наконец, вычислим работу, совершенную газом:

$A = p \Delta V = 1.6 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 0.0005 \text{ м}^3 = 1.6 \cdot 5 \cdot 10^{5-4} \text{ Дж} = 8 \cdot 10^1 \text{ Дж} = 80 \text{ Дж}$

Ответ: работа, которую совершит сила давления газа, равна 80 Дж.