Номер 329, страница 66 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

329. Идеальный газ, количество вещества которого $v = 2$ моль, а начальная температура $T_1 = 300$ К, изобарно расширился. Определите работу силы давления газа, если его концентрация молекул в конечном состоянии в $\alpha = 2$ раза меньше, чем в начальном.

Дано:

Количество вещества идеального газа, $v = 2$ моль
Начальная температура, $T_1 = 300$ К
Процесс расширения изобарный, $p = \text{const}$
Отношение начальной концентрации к конечной, $\alpha = \frac{n_1}{n_2} = 2$
Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:

Работу силы давления газа, $A$.

Решение:

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе (процессе с постоянным давлением), вычисляется по формуле:
$A = p \Delta V = p(V_2 - V_1)$
где $p$ — постоянное давление газа, $V_1$ и $V_2$ — его начальный и конечный объемы.

Используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $pV = vRT$, можно выразить работу через изменение температуры:
$A = pV_2 - pV_1 = vRT_2 - vRT_1 = vR(T_2 - T_1)$
Здесь $T_1$ и $T_2$ — начальная и конечная абсолютные температуры газа.

Для нахождения работы необходимо определить конечную температуру $T_2$. Это можно сделать, используя условие об изменении концентрации молекул.
Концентрация молекул $n$ определяется как отношение числа молекул $N$ к объему $V$, который они занимают: $n = \frac{N}{V}$.
Поскольку количество вещества газа $v$ не меняется, общее число молекул $N$ также остается постоянным.
Из условия задачи известно, что конечная концентрация $n_2$ в $\alpha=2$ раза меньше начальной $n_1$:
$n_2 = \frac{n_1}{\alpha} \implies \frac{N}{V_2} = \frac{N}{\alpha V_1}$
Отсюда следует, что конечный объем газа в $\alpha$ раз больше начального:
$V_2 = \alpha V_1$

Для изобарного процесса справедлив закон Гей-Люссака, который связывает объем и температуру газа:
$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Подставим в это соотношение найденное выражение для $V_2$:
$\frac{V_1}{T_1} = \frac{\alpha V_1}{T_2}$
Сократив $V_1$, получим связь между начальной и конечной температурами:
$T_2 = \alpha T_1$

Теперь подставим выражение для конечной температуры $T_2$ в формулу для работы газа:
$A = vR(T_2 - T_1) = vR(\alpha T_1 - T_1) = vR T_1 (\alpha - 1)$

Произведем вычисления, подставив известные значения:
$A = 2 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К} \cdot (2 - 1) = 4986 \text{ Дж}$

Работу можно также выразить в килоджоулях:
$A = 4.986 \text{ кДж}$

Ответ: работа силы давления газа равна $4986$ Дж.