Номер 332, страница 66 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

332. В горизонтальном цилиндре, закрытом гладким поршнем, находится идеальный газ при температуре $T_1 = 490$ К и давлении $p = 98$ кПа. Объем газа $V_1 = 5,0$ л. На сколько надо охладить газ при неизменном давлении, чтобы при этом внешняя сила, сжимая газ, совершила работу $A_{\text{вн}} = 50$ Дж?

Дано:

$T_1 = 490$ К

$p = 98$ кПа

$V_1 = 5,0$ л

$A_{вн} = 50$ Дж

$p = \text{const}$

Перевод в систему СИ:

$p = 98 \cdot 10^3$ Па

$V_1 = 5,0 \cdot 10^{-3}$ м³

Найти:

$\Delta T$

Решение:

Процесс охлаждения газа происходит при постоянном давлении, следовательно, это изобарный процесс. Работа, совершаемая внешней силой над газом $A_{вн}$, связана с работой, совершаемой самим газом $A_{газа}$, соотношением $A_{газа} = -A_{вн}$. Поскольку внешняя сила сжимает газ, работа внешних сил положительна, а работа газа отрицательна.

$A_{газа} = -50$ Дж

Работа газа в изобарном процессе вычисляется по формуле:

$A_{газа} = p(V_2 - V_1) = p\Delta V$

где $V_1$ и $V_2$ — начальный и конечный объемы газа соответственно.

Для изобарного процесса справедлив закон Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Из этого закона можно выразить конечный объем $V_2$ через начальный объем и температуры:

$V_2 = V_1 \frac{T_2}{T_1}$

Подставим выражение для $V_2$ в формулу для работы газа:

$A_{газа} = p\left(V_1 \frac{T_2}{T_1} - V_1\right) = pV_1\left(\frac{T_2}{T_1} - 1\right) = \frac{pV_1}{T_1}(T_2 - T_1)$

Нам необходимо найти, на сколько кельвинов надо охладить газ, то есть величину $\Delta T = T_1 - T_2$. Выразим из полученной формулы разность температур $(T_2 - T_1)$:

$T_2 - T_1 = \frac{A_{газа} T_1}{pV_1}$

Тогда искомое изменение температуры будет:

$\Delta T = T_1 - T_2 = -(T_2 - T_1) = -\frac{A_{газа} T_1}{pV_1}$

Произведем вычисления. Сначала найдем произведение $pV_1$:

$pV_1 = 98 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 490$ Дж

Теперь подставим все значения в формулу для $\Delta T$:

$\Delta T = -\frac{(-50 \text{ Дж}) \cdot 490 \text{ К}}{490 \text{ Дж}} = -(-50 \text{ К}) = 50$ К

Ответ: газ надо охладить на 50 К.