Номер 361, страница 74 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

361. Для приготовления ванны емкостью $V = 200$ л смешали холодную воду при температуре $t_1 = 10^\circ \text{С}$ с горячей водой при температуре $t_2 = 60^\circ \text{С}$. Определите объем холодной воды, если в ванне установилась температура воды $t = 40^\circ \text{С}$. Потерями энергии пренебречь.

Дано:

$V = 200$ л
$t_1 = 10$ °C
$t_2 = 60$ °C
$t = 40$ °C

$V = 200 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.2 \text{ м}^3$

Найти:

$V_1$ - ?

Решение:

Для решения задачи используем уравнение теплового баланса. Поскольку по условию потерями энергии можно пренебречь, количество теплоты, полученное холодной водой при нагревании ($Q_1$), равно количеству теплоты, отданному горячей водой при остывании ($Q_2$).

$Q_1 = Q_2$

Количество теплоты для каждого процесса определяется по формуле $Q = c m \Delta t$, где $c$ — удельная теплоемкость воды, $m$ — масса воды, $\Delta t$ — изменение температуры.

Для холодной воды: $Q_1 = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Для горячей воды: $Q_2 = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

Приравнивая эти выражения, получаем:

$c \cdot m_1 \cdot (t - t_1) = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

Массу воды выразим через ее плотность $\rho$ и объем $V$ по формуле $m = \rho \cdot V$. Будем считать плотность воды постоянной и для холодной, и для горячей воды.

$c \cdot \rho \cdot V_1 \cdot (t - t_1) = c \cdot \rho \cdot V_2 \cdot (t_2 - t)$

Удельная теплоемкость $c$ и плотность $\rho$ в левой и правой частях уравнения сокращаются:

$V_1 \cdot (t - t_1) = V_2 \cdot (t_2 - t)$

Общий объем смеси $V$ является суммой объемов холодной ($V_1$) и горячей ($V_2$) воды:

$V = V_1 + V_2$

Из этого соотношения выразим объем горячей воды $V_2$:

$V_2 = V - V_1$

Подставим это выражение в уравнение теплового баланса:

$V_1 \cdot (t - t_1) = (V - V_1) \cdot (t_2 - t)$

Теперь решим это уравнение относительно искомой величины $V_1$. Раскроем скобки:

$V_1 t - V_1 t_1 = V t_2 - V t - V_1 t_2 + V_1 t$

Перенесем все слагаемые с $V_1$ в левую часть уравнения:

$V_1 t - V_1 t_1 + V_1 t_2 - V_1 t = V t_2 - V t$

$V_1 (t_2 - t_1) = V (t_2 - t)$

Выразим $V_1$:

$V_1 = V \frac{t_2 - t}{t_2 - t_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи. Поскольку в формуле используются разности температур, можно использовать значения в градусах Цельсия.

$V_1 = 200 \text{ л} \cdot \frac{60 \text{ °C} - 40 \text{ °C}}{60 \text{ °C} - 10 \text{ °C}} = 200 \text{ л} \cdot \frac{20}{50} = 200 \text{ л} \cdot 0.4 = 80 \text{ л}$

Ответ: объем холодной воды, который необходимо взять, составляет $80$ л.