Номер 359, страница 74 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

359. Медный цилиндр, нагретый до температуры $t_1 = 100 \text{ °C}$, опустили в воду, масса которой в три раза меньше массы цилиндра. Тепловое равновесие наступило при температуре $t = 30 \text{ °C}$. Определите начальную температуру воды. Потерями энергии пренебречь.

Дано:

$t_1 = 100 \text{ °C}$ (начальная температура медного цилиндра)
$t = 30 \text{ °C}$ (температура теплового равновесия)
$m_2 = \frac{m_1}{3}$ (соотношение масс воды и цилиндра, где $m_1$ - масса цилиндра, $m_2$ - масса воды)
$c_1 = 400 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоемкость меди)
$c_2 = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоемкость воды)

$T_1 = 100 + 273 = 373 \text{ К}$
$T = 30 + 273 = 303 \text{ К}$

Найти:

$t_2$ - начальная температура воды.

Решение:

В условии сказано пренебречь потерями энергии, следовательно, система, состоящая из медного цилиндра и воды, является теплоизолированной. В такой системе выполняется закон сохранения энергии, который для тепловых процессов записывается как уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное более нагретым телом, равно количеству теплоты, полученному более холодным телом.

Количество теплоты $Q_1$, которое отдал медный цилиндр, остывая от температуры $t_1$ до температуры $t$:

$Q_1 = c_1 m_1 (t_1 - t)$

Количество теплоты $Q_2$, которое получила вода, нагреваясь от начальной температуры $t_2$ до температуры $t$:

$Q_2 = c_2 m_2 (t - t_2)$

Составим уравнение теплового баланса, приравняв $Q_1$ и $Q_2$:

$Q_1 = Q_2$

$c_1 m_1 (t_1 - t) = c_2 m_2 (t - t_2)$

По условию задачи масса воды в три раза меньше массы цилиндра, то есть $m_2 = \frac{m_1}{3}$. Подставим это соотношение в уравнение:

$c_1 m_1 (t_1 - t) = c_2 \frac{m_1}{3} (t - t_2)$

Сократим массу цилиндра $m_1$ в обеих частях уравнения:

$c_1 (t_1 - t) = \frac{c_2}{3} (t - t_2)$

Из этого уравнения выразим искомую величину – начальную температуру воды $t_2$. Сначала найдем выражение для разности температур $(t - t_2)$:

$t - t_2 = \frac{3 c_1 (t_1 - t)}{c_2}$

Отсюда $t_2$:

$t_2 = t - \frac{3 c_1 (t_1 - t)}{c_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Так как в расчетах используется разность температур, можно использовать значения в градусах Цельсия.

$t_2 = 30 - \frac{3 \cdot 400 \cdot (100 - 30)}{4200} = 30 - \frac{1200 \cdot 70}{4200} = 30 - \frac{84000}{4200} = 30 - 20 = 10 \text{ (°C)}$

Ответ: начальная температура воды составляла 10 °C.