Номер 353, страница 72 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

353. Идеальный газ в количестве $v = 2,0$ моль сначала находился при температуре $T_1 = 400$ К. Его объем увеличили в два раза. При этом давление газа при расширении линейно зависело от объема. Определите работу, совершенную силой давления газа в этом процессе, если конечная температура газа равна начальной.

Дано:

Количество вещества идеального газа: $ν = 2,0$ моль

Начальная температура газа: $T_1 = 400$ К

Соотношение конечного и начального объемов: $V_2 = 2V_1$

Конечная температура газа: $T_2 = T_1 = 400$ К

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Найти:

Работу, совершенную силой давления газа: $A$

Решение:

Работа газа в термодинамическом процессе определяется как площадь фигуры под графиком процесса в координатах $p-V$.

По условию задачи, давление газа при расширении линейно зависело от объема. Это означает, что график процесса в координатах $p(V)$ является отрезком прямой. Работа, совершаемая газом при изменении объема от $V_1$ до $V_2$, в этом случае равна площади трапеции под графиком.

Формула для работы как площади трапеции:

$A = \frac{p_1 + p_2}{2} (V_2 - V_1)$

где $p_1$ и $V_1$ – начальное давление и объем, а $p_2$ и $V_2$ – конечное давление и объем.

Для нахождения начального и конечного давлений используем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального и конечного состояний:

$p_1 V_1 = νRT_1$ (1)

$p_2 V_2 = νRT_2$ (2)

Из условия задачи известно, что $V_2 = 2V_1$ и $T_2 = T_1$.

Подставим эти условия в уравнение (2):

$p_2 (2V_1) = νRT_1$ (3)

Из уравнений (1) и (3) выразим давления $p_1$ и $p_2$ через начальный объем $V_1$ и температуру $T_1$:

$p_1 = \frac{νRT_1}{V_1}$

$p_2 = \frac{νRT_1}{2V_1}$

Теперь подставим полученные выражения для $p_1$, $p_2$ и условие $V_2 = 2V_1$ в формулу для работы:

$A = \frac{\frac{νRT_1}{V_1} + \frac{νRT_1}{2V_1}}{2} (2V_1 - V_1)$

Упростим выражение. Сначала выполним действия в числителе дроби и в скобках:

$A = \frac{\frac{2νRT_1 + νRT_1}{2V_1}}{2} \cdot V_1 = \frac{\frac{3νRT_1}{2V_1}}{2} \cdot V_1$

Сократим $V_1$ и получим окончательную формулу для расчета:

$A = \frac{3νRT_1}{4}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$A = \frac{3}{4} \cdot 2,0 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 400 \text{ К}$

$A = 3 \cdot 2,0 \cdot 8,31 \cdot 100 = 4986 \text{ Дж}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как количество вещества дано с точностью до двух значащих цифр ($ν = 2,0$ моль):

$A \approx 5000 \text{ Дж} = 5,0 \text{ кДж}$

Ответ: $A \approx 5,0 \text{ кДж}$.