Номер 349, страница 71 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

349. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа при переходе из состояния 1 в состояние 3 (рис. 48) изменилась на $ \Delta U_{13} = 60 $ Дж. Определите работу, совершенную силой давления газа при процессе 2—3.

Рис. 48

Дано:

Идеальный одноатомный газ.

Процесс 1-2-3, показанный на p-V диаграмме.

Параметры состояний:

Состояние 1: $p_1 = p_0$, $V_1 = V_0$

Состояние 2: $p_2 = 2p_0$, $V_2 = 2V_0$

Состояние 3: $p_3 = p_0$, $V_3 = 4V_0$

Изменение внутренней энергии при переходе из состояния 1 в состояние 3: $\Delta U_{13} = 60$ Дж.

Найти:

Работу, совершенную силой давления газа при процессе 2-3: $A_{23}$.

Решение:

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется формулой:

$U = \frac{3}{2} \nu R T$

Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu R T$, можно выразить внутреннюю энергию через давление $p$ и объем $V$:

$U = \frac{3}{2} pV$

Изменение внутренней энергии газа при переходе из состояния 1 в состояние 3 равно разности внутренних энергий в конечном и начальном состояниях:

$\Delta U_{13} = U_3 - U_1$

Определим внутреннюю энергию в состояниях 1 и 3, используя параметры с графика:

$U_1 = \frac{3}{2} p_1 V_1 = \frac{3}{2} p_0 V_0$

$U_3 = \frac{3}{2} p_3 V_3 = \frac{3}{2} (p_0)(4V_0) = \frac{3}{2} \cdot 4 p_0 V_0 = 6 p_0 V_0$

Теперь найдем изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{13} = 6 p_0 V_0 - \frac{3}{2} p_0 V_0 = (\frac{12}{2} - \frac{3}{2}) p_0 V_0 = \frac{9}{2} p_0 V_0 = 4.5 p_0 V_0$

По условию задачи $\Delta U_{13} = 60$ Дж. Приравняем это значение к полученному выражению:

$4.5 p_0 V_0 = 60$

Отсюда найдем произведение $p_0 V_0$:

$p_0 V_0 = \frac{60}{4.5} = \frac{600}{45} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}$ Дж.

Работа, совершаемая газом, в p-V координатах численно равна площади фигуры под графиком процесса.

Процесс 2-3 является прямолинейным участком, поэтому работа $A_{23}$ равна площади трапеции под этим участком.

Основаниями трапеции являются давления $p_2 = 2p_0$ и $p_3 = p_0$, а высотой — изменение объема $\Delta V = V_3 - V_2 = 4V_0 - 2V_0 = 2V_0$.

Площадь трапеции рассчитывается по формуле:

$A_{23} = \frac{p_2 + p_3}{2} \cdot (V_3 - V_2)$

Подставим значения из графика:

$A_{23} = \frac{2p_0 + p_0}{2} \cdot (4V_0 - 2V_0) = \frac{3p_0}{2} \cdot 2V_0 = 3p_0 V_0$

Теперь подставим ранее найденное значение $p_0 V_0 = \frac{40}{3}$ Дж в выражение для работы:

$A_{23} = 3 \cdot (\frac{40}{3}) = 40$ Дж.

Ответ: $40$ Дж.